Номер 298, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 298, страница 88.

Условие.

298. Сократите дробь:

а) $\frac{A_5^2}{3!};$ в) $\frac{A_{n+1}^3}{A_n^2};$

б) $\frac{A_6^3}{4!};$ г) $\frac{A_{n+3}^3}{A_{n+1}^2}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для сокращения дроби $\frac{A_5^2}{3!}$ воспользуемся формулой для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$ и определением факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n$.
Вычислим числитель: $A_5^2 = 5 \cdot (5-1) = 5 \cdot 4 = 20$.
Вычислим знаменатель: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Подставим полученные значения в дробь и сократим ее: $\frac{A_5^2}{3!} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

б) Сократим дробь $\frac{A_6^3}{4!}$.
Вычислим числитель, используя формулу для числа размещений: $A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
Вычислим знаменатель: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Подставим значения в дробь и выполним деление: $\frac{A_6^3}{4!} = \frac{120}{24} = 5$.
Ответ: 5.

в) Сократим дробь $\frac{A_{n+1}^3}{A_n^2}$.
Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Выражение в числителе: $A_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{((n+1)-3)!} = \frac{(n+1)!}{(n-2)!}$.
Выражение в знаменателе: $A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!}$.
Подставим эти выражения в исходную дробь: $\frac{A_{n+1}^3}{A_n^2} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n-2)!}}{\frac{n!}{(n-2)!}}$.
Для деления дробей, умножим числитель на перевернутый знаменатель: $\frac{(n+1)!}{(n-2)!} \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{(n+1)!}{n!}$.
Используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, получаем: $\frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1$.
Ответ: $n+1$.

г) Сократим дробь $\frac{A_{n+3}^3}{A_{n+1}^2}$.
Используем формулу $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Числитель: $A_{n+3}^3 = \frac{(n+3)!}{((n+3)-3)!} = \frac{(n+3)!}{n!}$.
Знаменатель: $A_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{((n+1)-2)!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$.
Подставим выражения в дробь: $\frac{A_{n+3}^3}{A_{n+1}^2} = \frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{(n+1)!}{(n-1)!}} = \frac{(n+3)!}{n!} \cdot \frac{(n-1)!}{(n+1)!}$.
Используя свойства факториалов $(n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)n!$ и $(n+1)! = (n+1)n(n-1)!$, преобразуем выражение:
$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n!}{n!} \cdot \frac{(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!}$.
Сокращаем $n!$ в первом множителе и $(n-1)!$ во втором: $(n+3)(n+2)(n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)n}$.
Сокращаем общий множитель $(n+1)$: $\frac{(n+3)(n+2)}{n}$.
Ответ: $\frac{(n+3)(n+2)}{n}$.