Номер 300, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 300, страница 88.

Условие.

300. Из 10 различных задач для суммативного оценивания выбираются 5 заданий. Сколько различных вариантов заданий можно составить?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 5 заданий из 10 доступных. Поскольку порядок выбора заданий не влияет на итоговый вариант (набор из пяти задач остается тем же самым независимо от последовательности их выбора), мы имеем дело с нахождением числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ различных элементов по $k$ элементам обозначается как $C_n^k$ и вычисляется по следующей формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В данном случае, общее количество задач $n = 10$, а количество задач, которые нужно выбрать, $k = 5$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$

Теперь распишем факториалы и произведем вычисления.
$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$
Можно сократить $5!$ в числителе и знаменателе:
$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Вычислим значение выражения в числителе и знаменателе:
Числитель: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$
Знаменатель: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$C_{10}^5 = \frac{30240}{120} = 252$

Таким образом, существует 252 различных варианта заданий, которые можно составить.

Ответ: 252