Номер 304, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 304, страница 89.

Условие.

304. В урочище Каскабулак старейшего заповедника Аксу-Жабаглы Казахстана сохранилось много древних рисунков на камнях.

Урочище Каскабулак. Рисунки на камне

а) Найдите одну четвертую часть всех возможных способов распределения I, II и III премий между 21 сотрудником ($ \$ \frac{P(21,3)}{4} \$ $), и вы узнаете, сколько примерно таких рисунков;

б) Отнимите от полученного результата количество всех возможных способов выбора четырех книг из восьми ($ \$ \binom{8}{4} \$ $), и вы найдете число, указывающее год, предшествующий году образования этого заповедника.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для решения этой задачи нам нужно найти количество всех возможных способов распределения I, II и III премий между 21 сотрудником. Поскольку премии различны, важен порядок, в котором они присуждаются. Следовательно, мы имеем дело с размещениями. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае, общее количество сотрудников $n = 21$, а количество премий $k = 3$.

Подставим значения в формулу, чтобы найти общее число способов:

$A_{21}^3 = \frac{21!}{(21-3)!} = \frac{21!}{18!} = 21 \times 20 \times 19 = 7980$

Согласно условию, примерное количество рисунков составляет одну четвертую часть от всех возможных способов:

$\frac{1}{4} \times 7980 = 1995$

Ответ: 1995.

б)

Сначала найдем количество всех возможных способов выбора четырех книг из восьми. В этой задаче порядок выбора книг не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь общее количество книг $n = 8$, а количество книг для выбора $k = 4$.

Вычислим количество способов:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$

Теперь, согласно условию, от результата, полученного в пункте а) (1995), нужно отнять найденное количество способов выбора книг (70):

$1995 - 70 = 1925$

Это число указывает на год, предшествующий году образования заповедника Аксу-Жабаглы.

Ответ: 1925.