Номер 308, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 308, страница 89.

Условие.

308. Найдите количество делителей числа:

а) $p^n$, где $p$ – простое число;

б) 1 000 000.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти количество делителей числа $p^n$, где $p$ — простое число, нужно рассмотреть, какой вид могут иметь его делители.
Поскольку $p$ — простое число, любой делитель числа $p^n$ должен быть степенью числа $p$. То есть, любой делитель имеет вид $p^k$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Чтобы $p^k$ было делителем $p^n$, необходимо, чтобы выполнялось условие $0 \le k \le n$.
Таким образом, возможными значениями для показателя степени $k$ являются: $0, 1, 2, \ldots, n$.
Перечислим все делители: $p^0, p^1, p^2, \ldots, p^n$.
Количество таких делителей равно количеству возможных значений $k$, то есть $n - 0 + 1 = n + 1$.
Ответ: $n+1$.

б) Чтобы найти количество делителей числа 1 000 000, сначала разложим его на простые множители.
$1\;000\;000 = 10^6$.
Так как $10 = 2 \cdot 5$, то $1\;000\;000 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$.
Общая формула для нахождения количества делителей числа $N$, имеющего каноническое разложение $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, выглядит так: $\tau(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.
В нашем случае каноническое разложение числа 1 000 000 это $2^6 \cdot 5^6$. Здесь $p_1 = 2$, $a_1 = 6$ и $p_2 = 5$, $a_2 = 6$.
Подставляем значения показателей степеней в формулу:
Количество делителей = $(6+1)(6+1) = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 49.