Найдите в интернете, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - страница 91.

Условие.

Найдите в Интернете:

1) сведения о биографии Б. Паскаля и его достижениях в области комбинаторики;

2) сведения о биографии Л. Эйлера, его знаменитую задачу о кенигсбергских мостах и ее решение;

3) сведения о первооткрывателях формулы разложения бинома $(a + b)^n$.

Решение 2 (rus).

1) сведения о биографии Б. Паскаля и его достижениях в области комбинаторики

Блез Паскаль (1623–1662) — выдающийся французский математик, физик, изобретатель, писатель и философ. Он проявил незаурядные способности в раннем детстве и получил образование от своего отца, который был сборщиком налогов. Уже в 16 лет Паскаль сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии (теорему Паскаля). В 19 лет он изобрел первую в мире механическую счетную машину, "Паскалину", чтобы помочь отцу в его финансовых расчетах. Кроме математики, он внес значительный вклад в физику, сформулировав основной закон гидростатики (закон Паскаля).

Вклад Паскаля в комбинаторику неразрывно связан с его работами по теории вероятностей, которую он разрабатывал совместно с другим знаменитым математиком, Пьером де Ферма. Их переписка, посвященная "задаче о разделе ставок" (как справедливо разделить ставки в прерванной азартной игре), заложила основы этой новой области математики. Для решения таких задач Паскаль активно использовал комбинаторные методы.

Ключевым достижением Паскаля в комбинаторике является его работа "Трактат об арифметическом треугольнике", написанная в 1654 году. В этом труде он систематически описал числовую таблицу, известную сегодня как треугольник Паскаля. Хотя эта таблица была известна математикам в Индии, Персии и Китае задолго до него, Паскаль первым подробно исследовал ее свойства и показал многочисленные применения. Он продемонстрировал, что числа в треугольнике являются биномиальными коэффициентами, то есть коэффициентами в разложении степени бинома $(a+b)^n$. Число, расположенное в $n$-й строке на $k$-м месте (при нумерации с нуля), равно числу сочетаний из $n$ по $k$, или $C_n^k = \binom{n}{k}$. Паскаль вывел и доказал множество тождеств для этих коэффициентов, включая основное рекуррентное соотношение: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.

Ответ: Блез Паскаль — один из создателей теории вероятностей (вместе с Пьером де Ферма). Его главное достижение в комбинаторике — это систематическое исследование "арифметического треугольника" (треугольника Паскаля) и его свойств, а также применение этого треугольника для вычисления биномиальных коэффициентов и решения вероятностных задач.

2) сведения о биографии Л. Эйлера, его знаменитую задачу о кенигсбергских мостах и ее решение

Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский, немецкий и российский математик, механик и физик, который считается одним из величайших математиков в истории. Он является автором более 800 научных работ. Большую часть своей жизни он проработал в России, в Петербургской академии наук, а также в Берлинской академии наук. Эйлер внес фундаментальный вклад практически во все области математики своего времени: математический анализ, теорию чисел, дифференциальную геометрию, а также заложил основы теории графов. Несмотря на почти полную потерю зрения к концу жизни, его научная продуктивность не только не уменьшилась, но даже возросла.

Знаменитая задача о семи мостах Кенигсберга — это старинная математическая головоломка, решение которой Эйлер опубликовал в 1736 году. Эта работа считается первой в истории статьей по теории графов. Город Кенигсберг (ныне Калининград) был расположен на реке Преголя и включал в себя два больших острова. Острова и берега реки были соединены семью мостами. Задача заключалась в следующем: можно ли найти такой маршрут, который начинался бы в любой точке города, проходил по каждому из семи мостов ровно один раз и возвращался в начальную точку?

Эйлер подошел к решению, абстрагировавшись от географических деталей и представив задачу в виде схемы. Он обозначил четыре части суши (два берега и два острова) как точки (вершины графа), а семь мостов — как линии, соединяющие эти точки (ребра графа). Далее он проанализировал, сколько ребер сходится в каждой вершине (это свойство называется степенью вершины). В кенигсбергском графе все четыре вершины имели нечетную степень (три моста вели к трем участкам суши и пять — к четвертому). Эйлер доказал, что для того, чтобы обойти граф, пройдя по каждому ребру ровно один раз (такой путь сейчас называют эйлеровым путем), необходимо, чтобы в графе было либо ноль, либо две вершины нечетной степени. Если все вершины имеют четную степень, то можно начать и закончить путь в одной и той же точке (эйлеров цикл). Если вершин с нечетной степенью две, то путь должен начинаться в одной из них, а заканчиваться в другой. Поскольку в задаче о мостах Кенигсберга было четыре вершины нечетной степени, Эйлер пришел к выводу, что искомый маршрут невозможен.

Ответ: Леонард Эйлер — великий математик, работавший в России и Германии. Он решил задачу о кенигсбергских мостах, доказав, что невозможно пройти по каждому из семи мостов ровно по одному разу. Его решение, основанное на представлении задачи в виде графа и анализе степеней его вершин, положило начало теории графов.

3) сведения о первооткрывателях формулы разложения бинома $(a+b)^n$

Формула разложения бинома, известная как бином Ньютона, не была открыта одним человеком. Ее история охватывает многие столетия и культуры.

Первые шаги были сделаны еще в античности. Частный случай для степени $n=2$, то есть формула $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, был известен древнегреческому математику Евклиду (около 300 г. до н.э.). В Древней Индии математик Пингала (около II в. до н.э.) в своих трудах по стихосложению описал правила для нахождения числа слогов, что было эквивалентно вычислению биномиальных коэффициентов.

Значительный прорыв произошел в странах исламского мира и Китае. Персидский математик Аль-Караджи (около 1000 г.) в Багдаде первым систематически описал треугольник биномиальных коэффициентов и применил метод математической индукции для доказательства формулы бинома для целых положительных степеней $n$. Его работу продолжил и расширил знаменитый поэт и ученый Омар Хайям (XI в.). В Китае аналогичный треугольник был описан математиком Цзя Сянем (XI в.) и позже детально изучен Ян Хуэем (XIII в.), поэтому в Китае его называют "треугольник Ян Хуэя".

В Европе треугольник коэффициентов стал широко известен благодаря Блезу Паскалю, который в середине XVII века в "Трактате об арифметическом треугольнике" подробно исследовал его свойства. Из-за этого в западной традиции треугольник чаще всего называют "треугольником Паскаля".

Финальный и самый важный шаг сделал Исаак Ньютон около 1665 года. Он обобщил формулу бинома для любых рациональных и даже вещественных показателей $n$, представив разложение в виде бесконечного ряда. Эта общая формула $(a+b)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} a^{r-k} b^k$ и носит имя бинома Ньютона. Она стала одним из фундаментальных инструментов математического анализа.

Ответ: Открытие формулы бинома — это длительный исторический процесс. Частные случаи были известны в Древней Греции и Индии. Формулу для целых степеней знали математики исламского мира (Аль-Караджи, Омар Хайям) и Китая (Ян Хуэй). В Европе ее популяризировал Блез Паскаль. Исаак Ньютон обобщил формулу для любых, в том числе дробных и отрицательных, степеней, придав ей современный вид.