Номер 318, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 318, страница 97.

Условие.

318. Исследуйте, какая из последовательностей $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, $(e_n)$, $(f_n)$ является: а) возрастающей; б) убывающей:

$(a_n)$: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}$

$(b_n)$: $-4; -16; -64; -256.$

$(c_n)$: $-5; 25; -125; 625.$

$(d_n)$: $\frac{3}{10}; \frac{9}{100}; \frac{27}{1000}; \frac{81}{10000}$

$(e_n)$: $5; 2; 5; 5; 2; 5; 5; 5; 2.$

$(f_n)$: $0,1; 0,11; 0,111; 0,1111.$

Решение.

Решение 2 (rus).

(a_n): Последовательность задана членами $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$.

Общий член этой последовательности можно записать формулой $a_n = \frac{n}{n+1}$.

Для того чтобы исследовать последовательность на монотонность, сравним два соседних члена: $a_n$ и $a_{n+1}$. Член $a_{n+1}$ имеет вид $a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Так как $n \ge 1$, то знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n$ всегда больше нуля. Это означает, что $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Таким образом, последовательность является возрастающей.

Альтернативный способ: представим $a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. С увеличением $n$ знаменатель $n+1$ растет, дробь $\frac{1}{n+1}$ уменьшается, а значит, разность $1 - \frac{1}{n+1}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастающая.

Ответ: последовательность $(a_n)$ является возрастающей.

(b_n): Последовательность задана членами $-4, -16, -64, -256, \dots$.

Общий член этой последовательности можно записать формулой $b_n = -4^n$.

Сравним соседние члены $b_n$ и $b_{n+1}$. Член $b_{n+1}$ имеет вид $b_{n+1} = -4^{n+1}$.

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$: $b_{n+1} - b_n = -4^{n+1} - (-4^n) = -4^{n+1} + 4^n = 4^n(-4 + 1) = -3 \cdot 4^n$.

Так как $4^n > 0$ для любого натурального $n$, то произведение $-3 \cdot 4^n$ всегда отрицательно. Следовательно, разность $b_{n+1} - b_n < 0$, что означает $b_{n+1} < b_n$ для любого $n$. Таким образом, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность $(b_n)$ является убывающей.

(c_n): Последовательность задана членами $-5, 25, -125, 625, \dots$.

Общий член этой последовательности можно записать формулой $c_n = (-5)^n$.

Это знакочередующаяся последовательность. Сравним первые несколько членов:

$c_1 = -5$, $c_2 = 25$, $c_3 = -125$.

Видим, что $c_2 > c_1$ ($25 > -5$), но $c_3 < c_2$ ($-125 < 25$).

Поскольку условие $c_{n+1} > c_n$ (для возрастающей) и условие $c_{n+1} < c_n$ (для убывающей) не выполняются для всех $n$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: последовательность $(c_n)$ не является ни возрастающей, ни убывающей.

(d_n): Последовательность задана членами $\frac{3}{10}, \frac{9}{100}, \frac{27}{1000}, \frac{81}{10000}, \dots$.

Общий член этой последовательности можно записать формулой $d_n = \frac{3^n}{10^n} = \left(\frac{3}{10}\right)^n$.

Это геометрическая прогрессия с первым членом $d_1 = \frac{3}{10}$ и знаменателем $q = \frac{3}{10}$.

Так как все члены последовательности положительны, мы можем рассмотреть их отношение: $\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{(3/10)^{n+1}}{(3/10)^n} = \frac{3}{10}$.

Поскольку $\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{3}{10} < 1$, то $d_{n+1} < d_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность $(d_n)$ является убывающей.

(e_n): Последовательность задана конечным набором членов $5, 2, 5, 5, 2, 5, 5, 5, 2$.

Сравним первые несколько членов:

$e_1 = 5$, $e_2 = 2$. Здесь $e_2 < e_1$.

$e_2 = 2$, $e_3 = 5$. Здесь $e_3 > e_2$.

Так как в последовательности есть как участки убывания ($e_2 < e_1$), так и участки возрастания ($e_3 > e_2$), она не является монотонной.

Ответ: последовательность $(e_n)$ не является ни возрастающей, ни убывающей.

(f_n): Последовательность задана членами $0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, \dots$.

Запишем члены последовательности: $f_1 = 0.1$, $f_2 = 0.11$, $f_3 = 0.111$, и так далее.

Сравним два соседних члена $f_n$ и $f_{n+1}$. Каждый следующий член получается из предыдущего добавлением цифры 1 в следующем разряде после запятой.

Например, $f_2 = 0.11 = 0.1 + 0.01 = f_1 + 0.01$. Очевидно, $f_2 > f_1$.

В общем виде, разность $f_{n+1} - f_n = 0.\underbrace{00\dots0}_{n}1 = 10^{-(n+1)}$.

Так как разность $f_{n+1} - f_n$ всегда положительна ($10^{-(n+1)} > 0$ для любого $n$), то $f_{n+1} > f_n$ для всех $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность $(f_n)$ является возрастающей.

Таким образом, подводя итог исследования:

а) возрастающей являются последовательности: $(a_n)$ и $(f_n)$.

б) убывающей являются последовательности: $(b_n)$ и $(d_n)$.

Последовательности $(c_n)$ и $(e_n)$ не являются ни возрастающими, ни убывающими.