Номер 318, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 318, страница 97.
№318 (с. 97)
Условие. №318 (с. 97)
скриншот условия

318. Исследуйте, какая из последовательностей $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, $(e_n)$, $(f_n)$ является: а) возрастающей; б) убывающей:
$(a_n)$: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}$
$(b_n)$: $-4; -16; -64; -256.$
$(c_n)$: $-5; 25; -125; 625.$
$(d_n)$: $\frac{3}{10}; \frac{9}{100}; \frac{27}{1000}; \frac{81}{10000}$
$(e_n)$: $5; 2; 5; 5; 2; 5; 5; 5; 2.$
$(f_n)$: $0,1; 0,11; 0,111; 0,1111.$
Решение. №318 (с. 97)

Решение 2 (rus). №318 (с. 97)
(a_n): Последовательность задана членами $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$.
Общий член этой последовательности можно записать формулой $a_n = \frac{n}{n+1}$.
Для того чтобы исследовать последовательность на монотонность, сравним два соседних члена: $a_n$ и $a_{n+1}$. Член $a_{n+1}$ имеет вид $a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}$.
Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Так как $n \ge 1$, то знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n$ всегда больше нуля. Это означает, что $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Таким образом, последовательность является возрастающей.
Альтернативный способ: представим $a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. С увеличением $n$ знаменатель $n+1$ растет, дробь $\frac{1}{n+1}$ уменьшается, а значит, разность $1 - \frac{1}{n+1}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастающая.
Ответ: последовательность $(a_n)$ является возрастающей.
(b_n): Последовательность задана членами $-4, -16, -64, -256, \dots$.
Общий член этой последовательности можно записать формулой $b_n = -4^n$.
Сравним соседние члены $b_n$ и $b_{n+1}$. Член $b_{n+1}$ имеет вид $b_{n+1} = -4^{n+1}$.
Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$: $b_{n+1} - b_n = -4^{n+1} - (-4^n) = -4^{n+1} + 4^n = 4^n(-4 + 1) = -3 \cdot 4^n$.
Так как $4^n > 0$ для любого натурального $n$, то произведение $-3 \cdot 4^n$ всегда отрицательно. Следовательно, разность $b_{n+1} - b_n < 0$, что означает $b_{n+1} < b_n$ для любого $n$. Таким образом, последовательность является убывающей.
Ответ: последовательность $(b_n)$ является убывающей.
(c_n): Последовательность задана членами $-5, 25, -125, 625, \dots$.
Общий член этой последовательности можно записать формулой $c_n = (-5)^n$.
Это знакочередующаяся последовательность. Сравним первые несколько членов:
$c_1 = -5$, $c_2 = 25$, $c_3 = -125$.
Видим, что $c_2 > c_1$ ($25 > -5$), но $c_3 < c_2$ ($-125 < 25$).
Поскольку условие $c_{n+1} > c_n$ (для возрастающей) и условие $c_{n+1} < c_n$ (для убывающей) не выполняются для всех $n$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: последовательность $(c_n)$ не является ни возрастающей, ни убывающей.
(d_n): Последовательность задана членами $\frac{3}{10}, \frac{9}{100}, \frac{27}{1000}, \frac{81}{10000}, \dots$.
Общий член этой последовательности можно записать формулой $d_n = \frac{3^n}{10^n} = \left(\frac{3}{10}\right)^n$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $d_1 = \frac{3}{10}$ и знаменателем $q = \frac{3}{10}$.
Так как все члены последовательности положительны, мы можем рассмотреть их отношение: $\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{(3/10)^{n+1}}{(3/10)^n} = \frac{3}{10}$.
Поскольку $\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{3}{10} < 1$, то $d_{n+1} < d_n$ для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является убывающей.
Ответ: последовательность $(d_n)$ является убывающей.
(e_n): Последовательность задана конечным набором членов $5, 2, 5, 5, 2, 5, 5, 5, 2$.
Сравним первые несколько членов:
$e_1 = 5$, $e_2 = 2$. Здесь $e_2 < e_1$.
$e_2 = 2$, $e_3 = 5$. Здесь $e_3 > e_2$.
Так как в последовательности есть как участки убывания ($e_2 < e_1$), так и участки возрастания ($e_3 > e_2$), она не является монотонной.
Ответ: последовательность $(e_n)$ не является ни возрастающей, ни убывающей.
(f_n): Последовательность задана членами $0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, \dots$.
Запишем члены последовательности: $f_1 = 0.1$, $f_2 = 0.11$, $f_3 = 0.111$, и так далее.
Сравним два соседних члена $f_n$ и $f_{n+1}$. Каждый следующий член получается из предыдущего добавлением цифры 1 в следующем разряде после запятой.
Например, $f_2 = 0.11 = 0.1 + 0.01 = f_1 + 0.01$. Очевидно, $f_2 > f_1$.
В общем виде, разность $f_{n+1} - f_n = 0.\underbrace{00\dots0}_{n}1 = 10^{-(n+1)}$.
Так как разность $f_{n+1} - f_n$ всегда положительна ($10^{-(n+1)} > 0$ для любого $n$), то $f_{n+1} > f_n$ для всех $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность $(f_n)$ является возрастающей.
Таким образом, подводя итог исследования:
а) возрастающей являются последовательности: $(a_n)$ и $(f_n)$.
б) убывающей являются последовательности: $(b_n)$ и $(d_n)$.
Последовательности $(c_n)$ и $(e_n)$ не являются ни возрастающими, ни убывающими.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 318 расположенного на странице 97 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №318 (с. 97), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.