Номер 320, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 320, страница 97.

Условие.

320. Запишите:

а) возрастающую последовательность двузначных чисел, в записи которых используются только цифры 2, 3, 5 без повторений;

б) убывающую последовательность трехзначных чисел, в записи которых используются цифры 0, 1, 4, 7 без повторений. Сколько членов содержит каждая из этих последовательностей?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Нам нужно составить возрастающую последовательность двузначных чисел, используя только цифры 2, 3, 5 без повторений.
Сначала перечислим все возможные двузначные числа, которые можно составить из этих цифр. Цифры в числе должны быть различны.
- Если первая цифра 2, вторая может быть 3 или 5. Получаем числа 23, 25.
- Если первая цифра 3, вторая может быть 2 или 5. Получаем числа 32, 35.
- Если первая цифра 5, вторая может быть 2 или 3. Получаем числа 52, 53.
Всего возможные числа: 23, 25, 32, 35, 52, 53.
Теперь запишем их в виде возрастающей последовательности: 23, 25, 32, 35, 52, 53.
Чтобы найти количество членов в этой последовательности, можно использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$ (три цифры) и $k=2$ (двузначное число).
Количество членов равно $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{6}{1} = 6$.
Ответ: возрастающая последовательность: 23, 25, 32, 35, 52, 53. Последовательность содержит 6 членов.

б) Нам нужно составить убывающую последовательность трехзначных чисел, используя только цифры 0, 1, 4, 7 без повторений.
Важное условие: трехзначное число не может начинаться с цифры 0.
Перечислим все возможные числа, начиная с самой большой возможной первой цифры, чтобы сразу формировать убывающую последовательность.
- Числа, начинающиеся с 7 (оставшиеся цифры 0, 1, 4): 741, 740, 714, 710, 704, 701.
- Числа, начинающиеся с 4 (оставшиеся цифры 0, 1, 7): 471, 470, 417, 410, 407, 401.
- Числа, начинающиеся с 1 (оставшиеся цифры 0, 4, 7): 174, 170, 147, 140, 107, 104.
Объединим все эти числа в одну убывающую последовательность: 741, 740, 714, 710, 704, 701, 471, 470, 417, 410, 407, 401, 174, 170, 147, 140, 107, 104.
Чтобы найти количество членов последовательности, посчитаем возможные варианты.
- Выбор первой цифры (сотни): 3 варианта (1, 4, 7).
- Выбор второй цифры (десятки): 3 варианта (любая из 3 оставшихся, включая 0).
- Выбор третьей цифры (единицы): 2 варианта (любая из 2 оставшихся).
Общее количество чисел: $3 \times 3 \times 2 = 18$.
Ответ: убывающая последовательность: 741, 740, 714, 710, 704, 701, 471, 470, 417, 410, 407, 401, 174, 170, 147, 140, 107, 104. Последовательность содержит 18 членов.