Номер 326, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 326, страница 98.

Условие.

326. Установите, является ли членом последовательности, заданной формулой $b_n = n^2 - 6n + 9$, число:

а) 24; в) -100;

б) 49; г) 625.

Если является, то укажите его номер.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы определить, является ли заданное число членом последовательности, заданной формулой $b_n = n^2 - 6n + 9$, необходимо проверить, существует ли натуральное число $n$ (номер члена), при котором $b_n$ равно этому числу.Заметим, что формулу n-го члена можно представить в виде полного квадрата: $b_n = n^2 - 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = (n-3)^2$.Это упростит проверку для каждого случая.

а) 24

Проверим, может ли член последовательности быть равен 24. Для этого решим уравнение $b_n = 24$ относительно натурального $n$.

$(n-3)^2 = 24$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$n - 3 = \pm\sqrt{24}$

$n = 3 \pm \sqrt{24}$

Поскольку $\sqrt{24}$ является иррациональным числом, то и значения $n = 3 \pm \sqrt{24}$ не являются натуральными числами. Следовательно, 24 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

б) 49

Проверим, может ли член последовательности быть равен 49. Решим уравнение $b_n = 49$.

$(n-3)^2 = 49$

Извлечем квадратный корень:

$n - 3 = \pm\sqrt{49}$

$n - 3 = \pm7$

Получаем два возможных решения:

1) $n - 3 = 7 \implies n = 10$

2) $n - 3 = -7 \implies n = -4$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит только корень $n = 10$. Таким образом, число 49 является 10-м членом последовательности.

Ответ: является, номер 10.

в) -100

Проверим, может ли член последовательности быть равен -100. Решим уравнение $b_n = -100$.

$(n-3)^2 = -100$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(n-3)^2 \ge 0$ для любого $n$. Уравнение $(n-3)^2 = -100$ не имеет действительных решений, а значит, и натуральных. Следовательно, -100 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

г) 625

Проверим, может ли член последовательности быть равен 625. Решим уравнение $b_n = 625$.

$(n-3)^2 = 625$

Извлечем квадратный корень:

$n - 3 = \pm\sqrt{625}$

$n - 3 = \pm25$

Получаем два возможных решения:

1) $n - 3 = 25 \implies n = 28$

2) $n - 3 = -25 \implies n = -22$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит только корень $n = 28$. Таким образом, число 625 является 28-м членом последовательности.

Ответ: является, номер 28.