Номер 331, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 331, страница 98.

Условие.

331. Докажите, что последовательность, n-й член которой равен:

а) $a_n = \frac{n-1}{n}$, является возрастающей;

б) $b_n = \frac{n+1}{n}$, является убывающей.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать, что последовательность с n-м членом $a_n = \frac{n-1}{n}$ является возрастающей, нужно показать, что каждый следующий её член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n \ge 1$. Это равносильно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n$ положительна.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$: $a_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Теперь найдем разность $a_{n+1} - a_n$ и приведем дроби к общему знаменателю $n(n+1)$:$a_{n+1} - a_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{n \cdot n - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.

Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то $n > 0$ и $n+1 > 0$. Следовательно, их произведение в знаменателе $n(n+1)$ всегда положительно. Числитель дроби равен 1, он также положителен. Значит, вся дробь $\frac{1}{n(n+1)}$ положительна для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что $a_{n+1} - a_n > 0$, из чего следует, что $a_{n+1} > a_n$. Последовательность является возрастающей.

Ответ: Последовательность $a_n = \frac{n-1}{n}$ является возрастающей, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что последовательность с n-м членом $b_n = \frac{n+1}{n}$ является убывающей, нужно показать, что каждый следующий её член меньше предыдущего, то есть $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n \ge 1$. Это равносильно доказательству того, что разность $b_{n+1} - b_n$ отрицательна.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}$.

Найдем разность $b_{n+1} - b_n$, приведя дроби к общему знаменателю $n(n+1)$:$b_{n+1} - b_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{(n^2+2n) - (n^2+2n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Числитель дроби равен -1, он отрицателен. Значит, вся дробь $\frac{-1}{n(n+1)}$ отрицательна для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что $b_{n+1} - b_n < 0$, из чего следует, что $b_{n+1} < b_n$. Последовательность является убывающей.

Ответ: Последовательность $b_n = \frac{n+1}{n}$ является убывающей, что и требовалось доказать.