Номер 337, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 337, страница 99.

Условие.

337. Последовательность $(a_n)$ задана начальным условием $a_1 = 1$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n \cdot n$. Найдите:

а) пять первых членов этой последовательности;

б) формулу $n$-го члена этой последовательности, используя понятие факториала числа.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти первые пять членов последовательности, воспользуемся начальным условием $a_1 = 1$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n \cdot n$.
Первый член задан по условию: $a_1 = 1$.
Для нахождения второго члена ($a_2$) подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_2 = a_{1+1} = a_1 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
Для нахождения третьего члена ($a_3$) подставим $n=2$:
$a_3 = a_{2+1} = a_2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.
Для нахождения четвертого члена ($a_4$) подставим $n=3$:
$a_4 = a_{3+1} = a_3 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$.
Для нахождения пятого члена ($a_5$) подставим $n=4$:
$a_5 = a_{4+1} = a_4 \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 1, 1, 2, 6, 24.
Ответ: 1, 1, 2, 6, 24.

б) Чтобы найти формулу n-го члена, распишем несколько членов последовательности, выражая их через $a_1$:
$a_1 = 1$
$a_2 = a_1 \cdot 1 = 1 \cdot 1$
$a_3 = a_2 \cdot 2 = (a_1 \cdot 1) \cdot 2 = 1 \cdot 1 \cdot 2$
$a_4 = a_3 \cdot 3 = (a_1 \cdot 1 \cdot 2) \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$
$a_n = a_{n-1} \cdot (n-1) = a_{n-2} \cdot (n-2) \cdot (n-1) = \dots = a_1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1)$.
Поскольку $a_1 = 1$, получаем:
$a_n = 1 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1))$.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$ называется факториалом числа $k$ и обозначается $k!$. В нашем случае произведение идет до $n-1$.
Следовательно, $a_n = (n-1)!$.
По определению, $0! = 1$. Проверим нашу формулу для первого члена: $a_1 = (1-1)! = 0! = 1$. Это соответствует начальному условию.
Ответ: $a_n = (n-1)!$.