Номер 339, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 339, страница 100.

Условие.

339. Запишите пять первых членов последовательности ($a_n$) четных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3, составьте формулу ее $n$-го члена.

Решение.

Решение 2 (rus).

Запишите пять первых членов последовательности

Сначала найдем последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Общий вид таких чисел — $x = 5k+3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$). Выпишем несколько первых таких чисел:

Для $k=0: 5 \cdot 0 + 3 = 3$

Для $k=1: 5 \cdot 1 + 3 = 8$

Для $k=2: 5 \cdot 2 + 3 = 13$

Для $k=3: 5 \cdot 3 + 3 = 18$

Для $k=4: 5 \cdot 4 + 3 = 23$

... и так далее. Ряд чисел: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, ...

Согласно условию, нам нужны только четные числа из этого ряда. Выберем их по порядку:

$a_1 = 8$

$a_2 = 18$

$a_3 = 28$

$a_4 = 38$

$a_5 = 48$

Таким образом, мы нашли пять первых членов искомой последовательности.

Ответ: 8, 18, 28, 38, 48.

Составьте формулу ее n-го члена

Полученная последовательность (8, 18, 28, 38, 48, ...) является арифметической прогрессией, так как разность между каждым последующим и предыдущим ее членом постоянна.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 8$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = 18 - 8 = 10$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в нее найденные значения $a_1=8$ и $d=10$:

$a_n = 8 + (n-1) \cdot 10 = 8 + 10n - 10 = 10n - 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденная формула $a_n = 10n - 2$ условиям задачи для любого натурального $n$:
1. Четность: число $10n$ всегда четное, значит и разность $10n - 2$ всегда будет четным числом.
2. Остаток от деления на 5: выражение $a_n$ можно представить в виде $10n - 2 = (10n - 5) + 3 = 5(2n - 1) + 3$. Так как слагаемое $5(2n-1)$ делится на 5 нацело, то остаток от деления всего выражения на 5 равен 3.

Оба условия выполняются, следовательно, формула найдена верно.

Ответ: $a_n = 10n - 2$.