Номер 340, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 340, страница 100.

Условие.

340. Последовательность ($x_n$) задана формулой $n$-го члена $x_n = \frac{4n+1}{5n}$. Найдите:

а) на сколько сотый член последовательности больше $\frac{4}{5}$;

б) при каких $n$ верно неравенство $x_n - \frac{4}{5} < 10^{-3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти, на сколько сотый член последовательности больше $\frac{4}{5}$, сначала найдем значение сотого члена $x_{100}$.

Подставим $n=100$ в формулу $x_n = \frac{4n + 1}{5n}$:

$x_{100} = \frac{4 \cdot 100 + 1}{5 \cdot 100} = \frac{400 + 1}{500} = \frac{401}{500}$.

Теперь найдем разность между $x_{100}$ и числом $\frac{4}{5}$:

$x_{100} - \frac{4}{5} = \frac{401}{500} - \frac{4}{5}$.

Приведем дробь $\frac{4}{5}$ к общему знаменателю 500:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 100}{5 \cdot 100} = \frac{400}{500}$.

Вычислим разность:

$\frac{401}{500} - \frac{400}{500} = \frac{1}{500}$.

Таким образом, сотый член последовательности больше $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{500}$.

Ответ: на $\frac{1}{500}$.

б) Чтобы найти, при каких $n$ верно неравенство $x_n - \frac{4}{5} < 10^{-3}$, сначала упростим выражение в левой части неравенства.

$x_n - \frac{4}{5} = \frac{4n + 1}{5n} - \frac{4}{5} = \frac{4n + 1}{5n} - \frac{4n}{5n} = \frac{4n + 1 - 4n}{5n} = \frac{1}{5n}$.

Теперь необходимо решить неравенство:

$\frac{1}{5n} < 10^{-3}$.

Мы знаем, что $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$. Подставим это значение в неравенство:

$\frac{1}{5n} < \frac{1}{1000}$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), следовательно, $5n$ — положительное число. Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины с каждой стороны, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$5n > 1000$.

Разделим обе части неравенства на 5:

$n > \frac{1000}{5}$

$n > 200$.

Неравенство верно для всех натуральных чисел $n$, которые больше 200.

Ответ: при $n > 200$.