Вопросы, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - страница 104.

Условие.

1. Сформулируйте аксиому математической индукции.

2. Как осуществляется доказательство методом математической индукции?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Принцип математической индукции является фундаментальным методом доказательства в математике, особенно для утверждений, касающихся натуральных чисел. Он позволяет обобщить результат с одного случая на бесконечную последовательность случаев. Этот принцип не является теоремой, которую можно доказать из более простых аксиом арифметики (в рамках арифметики первого порядка), а сам является аксиомой (одной из аксиом Пеано).
Ответ: Аксиома математической индукции формулируется следующим образом: пусть $P(n)$ — это утверждение, зависящее от натурального числа $n$. Если выполнены два условия:
1. База индукции: Утверждение $P(n_0)$ истинно для некоторого начального натурального числа $n_0$.
2. Индукционный шаг: Для любого натурального числа $k \ge n_0$ из истинности утверждения $P(k)$ (индукционное предположение) следует истинность утверждения $P(k+1)$.
Тогда утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

2. Метод математической индукции — это прямое применение аксиомы индукции для построения доказательств. Логика метода напоминает принцип домино: если мы толкнем первую костяшку (база индукции) и уверены, что каждая костяшка, падая, толкнет следующую (индукционный шаг), то в итоге все костяшки упадут.
Ответ: Доказательство утверждения $P(n)$ для всех $n \ge n_0$ методом математической индукции осуществляется по следующему плану:
1. База индукции: Проверяют справедливость утверждения для начального значения $n=n_0$. То есть доказывают, что $P(n_0)$ — истинно.
2. Индукционный шаг: Доказывают, что для любого $k \ge n_0$ из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. Для этого:
а) Формулируют индукционное предположение: "Пусть утверждение $P(k)$ истинно для некоторого $k \ge n_0$".
б) Осуществляют индукционный переход: Используя предположение, доказывают, что утверждение $P(k+1)$ также истинно.
3. Заключение: На основании выполненных шагов 1 и 2, по принципу математической индукции, делают вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.