Номер 338, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 338, страница 99.

Условие.

338. Запишите семь первых членов возрастающей последовательности трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9. Сколько членов содержит эта последовательность?

Решение.

Решение 2 (rus).

Запишите семь первых членов возрастающей последовательности

Чтобы найти первые члены возрастающей последовательности, мы должны искать трехзначные числа в порядке их увеличения, начиная с наименьшего возможного.

Трехзначное число можно представить в виде $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. По условию, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$. Сумма цифр должна быть равна 9: $a + b + c = 9$.

Для нахождения наименьшего числа, цифра сотен $a$ должна быть минимальной, то есть $a=1$.

Если $a=1$, то $1 + b + c = 9$, откуда $b + c = 8$. Чтобы число было наименьшим, цифра десятков $b$ также должна быть минимальной.

• При $a=1, b=0$: $c = 8$. Получаем число 108. (1-й член)
• При $a=1, b=1$: $c = 7$. Получаем число 117. (2-й член)
• При $a=1, b=2$: $c = 6$. Получаем число 126. (3-й член)
• При $a=1, b=3$: $c = 5$. Получаем число 135. (4-й член)
• При $a=1, b=4$: $c = 4$. Получаем число 144. (5-й член)
• При $a=1, b=5$: $c = 3$. Получаем число 153. (6-й член)
• При $a=1, b=6$: $c = 2$. Получаем число 162. (7-й член)

Ответ: 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162.

Сколько членов содержит эта последовательность?

Задача сводится к нахождению количества различных трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9. Это эквивалентно нахождению количества целочисленных решений уравнения $a + b + c = 9$ при ограничениях $1 \le a \le 9$ и $0 \le b, c \le 9$.

Данную задачу можно решить методом перебора по первой цифре $a$:

• Если $a=1$, то $b+c=8$. Возможные пары $(b, c)$: (0,8), (1,7), ..., (8,0). Всего $8-0+1 = 9$ решений.
• Если $a=2$, то $b+c=7$. Возможные пары $(b, c)$: (0,7), (1,6), ..., (7,0). Всего $7-0+1 = 8$ решений.
• Если $a=3$, то $b+c=6$. Всего 7 решений.
• Если $a=4$, то $b+c=5$. Всего 6 решений.
• Если $a=5$, то $b+c=4$. Всего 5 решений.
• Если $a=6$, то $b+c=3$. Всего 4 решения.
• Если $a=7$, то $b+c=2$. Всего 3 решения.
• Если $a=8$, то $b+c=1$. Всего 2 решения.
• Если $a=9$, то $b+c=0$. Только одно решение: (0,0).

Общее количество членов последовательности равно сумме найденных решений: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$.

Другой способ — использование комбинаторики. Задачу можно свести к нахождению числа неотрицательных целочисленных решений уравнения. Введем новую переменную $a' = a - 1$. Так как $a \ge 1$, то $a' \ge 0$. Уравнение примет вид $(a' + 1) + b + c = 9$, или $a' + b + c = 8$. Это задача о "шарах и перегородках". Нам нужно разложить 8 "шаров" (единиц) по 3 "корзинам" (переменным $a', b, c$). Количество способов это сделать равно числу сочетаний с повторениями: $C_{n+k-1}^{k-1} = \binom{n+k-1}{k-1}$, где $n=8$ (сумма) и $k=3$ (количество переменных). $C_{8+3-1}^{3-1} = C_{10}^{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Ответ: 45.