Номер 335, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 335, страница 99.

Условие.

335. Членами последовательности ($b_n$) являются числа, выражающие последовательные десятичные знаки представления обыкновенной дроби $\frac{5}{13}$ в виде десятичной.

а) Исследуйте, есть ли среди членов этой последовательности одинаковые числа.

б) Найдите $b_1, b_8, b_{15}, b_{22}$.

в) Является ли эта последовательность возрастающей или убывающей?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала представим обыкновенную дробь $ \frac{5}{13} $ в виде десятичной. Для этого выполним деление числа 5 на 13, например, в столбик:

$ 5 \div 13 = 0,384615384615... $

В результате деления получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Период (повторяющийся блок цифр) этой дроби равен 384615, его длина составляет 6 цифр.

$ \frac{5}{13} = 0,(384615) $

Таким образом, последовательность $ (b_n) $, членами которой являются последовательные десятичные знаки этой дроби, выглядит так:

$ b_1 = 3, b_2 = 8, b_3 = 4, b_4 = 6, b_5 = 1, b_6 = 5, b_7 = 3, b_8 = 8, $ и так далее.

а) Исследуйте, есть ли среди членов этой последовательности одинаковые числа.

Поскольку десятичное представление дроби является периодическим, последовательность цифр $ (b_n) $ также является периодической. Она состоит из повторяющегося набора цифр: 3, 8, 4, 6, 1, 5. Каждая из этих цифр встречается в последовательности бесконечное число раз. Например, первый член последовательности $ b_1 = 3 $ и седьмой член $ b_7 = 3 $ равны. Аналогично, $ b_2 = 8 $ и $ b_8 = 8 $. Следовательно, в данной последовательности есть одинаковые числа.

Ответ: да, есть. Например, $ b_1 = b_7 = 3 $.

б) Найдите $ b_1, b_8, b_{15}, b_{22} $.

Поскольку последовательность имеет период длиной 6, для нахождения n-го члена нужно найти остаток от деления его номера $ n $ на 6. Искомый член будет равен члену периода, номер которого совпадает с этим остатком. Если остаток равен 0, то берется последний (6-й) член периода.

- $ b_1 $: это первый член последовательности, он равен 3.

- $ b_8 $: находим остаток от деления 8 на 6: $ 8 = 1 \cdot 6 + 2 $. Остаток равен 2. Значит, $ b_8 $ совпадает со вторым членом периода: $ b_8 = b_2 = 8 $.

- $ b_{15} $: находим остаток от деления 15 на 6: $ 15 = 2 \cdot 6 + 3 $. Остаток равен 3. Значит, $ b_{15} $ совпадает с третьим членом периода: $ b_{15} = b_3 = 4 $.

- $ b_{22} $: находим остаток от деления 22 на 6: $ 22 = 3 \cdot 6 + 4 $. Остаток равен 4. Значит, $ b_{22} $ совпадает с четвертым членом периода: $ b_{22} = b_4 = 6 $.

Ответ: $ b_1 = 3, b_8 = 8, b_{15} = 4, b_{22} = 6 $.

в) Является ли эта последовательность возрастающей или убывающей?

Последовательность является возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего ($ b_{n+1} > b_n $ для всех $ n $). Последовательность является убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего ($ b_{n+1} < b_n $ для всех $ n $).

Рассмотрим первые несколько членов последовательности $ (b_n) $: $ 3, 8, 4, 6, 1, 5, ... $

Сравним $ b_1 $ и $ b_2 $: $ b_2 = 8 > b_1 = 3 $. Так как нашелся член, который больше предыдущего, последовательность не является убывающей.

Сравним $ b_2 $ и $ b_3 $: $ b_3 = 4 < b_2 = 8 $. Так как нашелся член, который меньше предыдущего, последовательность не является возрастающей.

Таким образом, данная последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Такие последовательности называют немонотонными.

Ответ: последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.