Номер 330, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 330, страница 98.

Условие.

330. Исследуйте, начиная с какого номера, члены последовательности ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена:

а) $a_n = n^2 - 7n$, положительные;

б) $a_n = -n^2 + 4n + 5$, отрицательные.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти, с какого номера члены последовательности $a_n = n^2 - 7n$ становятся положительными, необходимо решить неравенство $a_n > 0$ при условии, что $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 7n > 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 7) > 0$

Рассмотрим соответствующую функцию $f(n) = n(n - 7)$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен. Нули функции находятся в точках $n = 0$ и $n = 7$.

Неравенство $f(n) > 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями, то есть при $n < 0$ или $n > 7$.

Так как $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Условие $n < 0$ не подходит. Следовательно, мы рассматриваем только условие $n > 7$.

Наименьшее натуральное число, которое больше 7, это 8.

Таким образом, члены последовательности положительны, начиная с 8-го номера.

Ответ: с номера 8.

б) Чтобы найти, с какого номера члены последовательности $a_n = -n^2 + 4n + 5$ становятся отрицательными, необходимо решить неравенство $a_n < 0$ при условии, что $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$-n^2 + 4n + 5 < 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 4n - 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 4n - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

График функции $f(n) = n^2 - 4n - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(n) > 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями, то есть при $n < -1$ или $n > 5$.

Так как $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Условие $n < -1$ не подходит. Следовательно, мы рассматриваем только условие $n > 5$.

Наименьшее натуральное число, которое больше 5, это 6.

Таким образом, члены последовательности отрицательны, начиная с 6-го номера.

Ответ: с номера 6.