Номер 336, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 336, страница 99.
№336 (с. 99)
Условие. №336 (с. 99)
скриншот условия

336. Докажите, что последовательность, $n$-й член которой равен:
а) $a_n = \frac{n}{n+2}$, является возрастающей;
б) $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$, является убывающей.
Решение. №336 (с. 99)


Решение 2 (rus). №336 (с. 99)
а) Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \frac{n}{n+2}$ является возрастающей, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$.
Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$
Теперь составим разность и упростим ее:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(n+3)(n+2)$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$a_{n+1} - a_n = \frac{(n^2 + 2n + n + 2) - (n^2 + 3n)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$
Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то множители в знаменателе $n+3$ и $n+2$ всегда положительны. Числитель равен 2, что также является положительным числом. Следовательно, вся дробь положительна при любом натуральном $n$:
$\frac{2}{(n+3)(n+2)} > 0$
Поскольку $a_{n+1} - a_n > 0$, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность $a_n = \frac{n}{n+2}$ является возрастающей, что и требовалось доказать.
б) Чтобы доказать, что последовательность $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$ является убывающей, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} < b_n$. Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$.
Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{2(n+1)-1} = \frac{n+2}{2n+2-1} = \frac{n+2}{2n+1}$
Теперь составим разность и упростим ее:
$b_{n+1} - b_n = \frac{n+2}{2n+1} - \frac{n+1}{2n-1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(2n+1)(2n-1)$:
$b_{n+1} - b_n = \frac{(n+2)(2n-1) - (n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$b_{n+1} - b_n = \frac{(2n^2 - n + 4n - 2) - (2n^2 + n + 2n + 1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{(2n^2 + 3n - 2) - (2n^2 + 3n + 1)}{(2n+1)(2n-1)}$
$b_{n+1} - b_n = \frac{2n^2 + 3n - 2 - 2n^2 - 3n - 1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-3}{(2n+1)(2n-1)}$
Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то множители в знаменателе $2n+1$ и $2n-1$ всегда положительны. Числитель равен -3, что является отрицательным числом. Следовательно, вся дробь отрицательна при любом натуральном $n$:
$\frac{-3}{(2n+1)(2n-1)} < 0$
Поскольку $b_{n+1} - b_n < 0$, то $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является убывающей.
Ответ: последовательность $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$ является убывающей, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 336 расположенного на странице 99 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №336 (с. 99), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.