Номер 336, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 336, страница 99.

Условие.

336. Докажите, что последовательность, $n$-й член которой равен:

а) $a_n = \frac{n}{n+2}$, является возрастающей;

б) $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$, является убывающей.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \frac{n}{n+2}$ является возрастающей, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$.

Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$

Теперь составим разность и упростим ее:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(n+3)(n+2)$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(n^2 + 2n + n + 2) - (n^2 + 3n)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то множители в знаменателе $n+3$ и $n+2$ всегда положительны. Числитель равен 2, что также является положительным числом. Следовательно, вся дробь положительна при любом натуральном $n$:

$\frac{2}{(n+3)(n+2)} > 0$

Поскольку $a_{n+1} - a_n > 0$, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность $a_n = \frac{n}{n+2}$ является возрастающей, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что последовательность $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$ является убывающей, нужно показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} < b_n$. Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$.

Сначала найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{2(n+1)-1} = \frac{n+2}{2n+2-1} = \frac{n+2}{2n+1}$

Теперь составим разность и упростим ее:

$b_{n+1} - b_n = \frac{n+2}{2n+1} - \frac{n+1}{2n-1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2n+1)(2n-1)$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(n+2)(2n-1) - (n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(2n^2 - n + 4n - 2) - (2n^2 + n + 2n + 1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{(2n^2 + 3n - 2) - (2n^2 + 3n + 1)}{(2n+1)(2n-1)}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{2n^2 + 3n - 2 - 2n^2 - 3n - 1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-3}{(2n+1)(2n-1)}$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то множители в знаменателе $2n+1$ и $2n-1$ всегда положительны. Числитель равен -3, что является отрицательным числом. Следовательно, вся дробь отрицательна при любом натуральном $n$:

$\frac{-3}{(2n+1)(2n-1)} < 0$

Поскольку $b_{n+1} - b_n < 0$, то $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность $b_n = \frac{n+1}{2n-1}$ является убывающей, что и требовалось доказать.