Занимательные задачи 1, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - страница 100.

Условие.

1) В числовой последовательности 1; 2; 3; 7; 46 все члены, кроме двух, имеют некоторое свойство. Назовите эти члены и их свойство.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Обозначим цифры искомого трехзначного числа как $a$, $b$ и $c$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, а $c$ – цифра единиц. Тогда значение этого числа можно представить в виде $100a + 10b + c$. Так как число является трехзначным, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Согласно первому условию, средняя цифра равна сумме крайних:

$b = a + c$

Поскольку $b$ является цифрой, ее значение не может быть больше 9, следовательно, мы получаем первое ограничение: $a + c \le 9$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, имеет значение $100c + 10b + a$. Сумма этого числа и исходного, которую мы обозначим как $S$, равна:

$S = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101a + 20b + 101c = 101(a + c) + 20b$

Теперь подставим в это выражение равенство $b = a + c$ из первого условия:

$S = 101(a + c) + 20(a + c) = (101 + 20)(a + c) = 121(a + c)$

По второму условию задачи, сумма $S$ является четырехзначным числом. Это означает, что $S \ge 1000$. Подставим в это неравенство полученное выражение для $S$:

$121(a + c) \ge 1000$

Отсюда мы можем найти ограничение для суммы $a + c$:

$a + c \ge \frac{1000}{121} \approx 8.26$

Поскольку $a$ и $c$ — целые числа (цифры), их сумма $a+c$ также должна быть целым числом. Следовательно, $a + c \ge 9$.

Теперь у нас есть два условия для величины $a + c$:

1. $a + c \le 9$ (из того, что $b$ — это цифра)

2. $a + c \ge 9$ (из того, что сумма $S$ — четырехзначное число)

Единственное целое число, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно, — это 9. Таким образом, $a + c = 9$.

Зная точное значение суммы $a + c$, мы можем найти искомое четырехзначное число $S$:

$S = 121 \times (a + c) = 121 \times 9 = 1089$

Ответ: 1089.