Номер 343, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 343, страница 104.

Условие.

343. Для последовательностей $(a_n)$ и $(b_n)$, заданных рекуррентно, докажите формулу $n$-го члена:

а) $a_n = 3^n + 2$, если $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$;

б) $b_n = 5(2^n - 1)$, если $b_1 = 5$, $b_{n+1} = 2b_n + 5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства формулы $a_n = 3^n + 2$ воспользуемся методом математической индукции.
1. База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
По условию дано $a_1 = 5$.
Подставим $n=1$ в формулу: $a_1 = 3^1 + 2 = 3 + 2 = 5$.
Утверждение верно для $n=1$.
2. Индукционное предположение. Предположим, что формула верна для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = 3^k + 2$.
3. Индукционный шаг. Докажем, что формула верна для $n=k+1$. То есть, нужно доказать, что $a_{k+1} = 3^{k+1} + 2$.
Воспользуемся рекуррентным соотношением: $a_{n+1} = 3a_n - 4$. Для $n=k$ оно имеет вид $a_{k+1} = 3a_k - 4$.
Подставим в него выражение для $a_k$ из индукционного предположения:
$a_{k+1} = 3(3^k + 2) - 4 = 3 \cdot 3^k + 6 - 4 = 3^{k+1} + 2$.
Мы получили требуемое выражение для $a_{k+1}$. Таким образом, утверждение доказано по принципу математической индукции для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства формулы $b_n = 5(2^n - 1)$ воспользуемся методом математической индукции.
1. База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
По условию дано $b_1 = 5$.
Подставим $n=1$ в формулу: $b_1 = 5(2^1 - 1) = 5(2 - 1) = 5 \cdot 1 = 5$.
Утверждение верно для $n=1$.
2. Индукционное предположение. Предположим, что формула верна для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $b_k = 5(2^k - 1)$.
3. Индукционный шаг. Докажем, что формула верна для $n=k+1$. То есть, нужно доказать, что $b_{k+1} = 5(2^{k+1} - 1)$.
Воспользуемся рекуррентным соотношением: $b_{n+1} = 2b_n + 5$. Для $n=k$ оно имеет вид $b_{k+1} = 2b_k + 5$.
Подставим в него выражение для $b_k$ из индукционного предположения:
$b_{k+1} = 2 \cdot (5(2^k - 1)) + 5 = 10(2^k - 1) + 5 = 10 \cdot 2^k - 10 + 5 = 5 \cdot 2 \cdot 2^k - 5 = 5 \cdot 2^{k+1} - 5 = 5(2^{k+1} - 1)$.
Мы получили требуемое выражение для $b_{k+1}$. Таким образом, утверждение доказано по принципу математической индукции для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.