Номер 348, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 348, страница 105.

Условие.

348. Ученик получил задание: «Доказать, что при любом $n \in N$ значение выражения $\frac{n}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{3}$ является натуральным числом».

Его решение было таким: «При $n = 1$ значение выражения равно натуральному числу 1. Предположим, что значение этого выражения является натуральным числом при любом $n = k$, то есть $\frac{k}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{3}$ – натуральное число. Поскольку $k$ – любое натуральное число, то вместо $k$ можно подставить и следующее за ним натуральное число. Следовательно, и при $n = k + 1$ значение этого выражения является натуральным числом». Найдите ошибки в рассуждениях ученика и решите задачу правильно.

Решение.

Решение 2 (rus).

Ошибки в рассуждениях ученика

Ученик пытается применить метод математической индукции, который состоит из трех шагов: база индукции, предположение индукции и шаг индукции.

1. База индукции. Ученик правильно проверил, что при $n=1$ выражение равно $\frac{1}{6} + \frac{1^2}{2} + \frac{1^3}{3} = \frac{1+3+2}{6} = 1$, что является натуральным числом. Этот шаг выполнен верно.

2. Предположение индукции. Ученик предполагает, что для некоторого натурального $n=k$ выражение $\frac{k}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{3}$ является натуральным числом. Этот шаг является стандартной частью метода.

3. Шаг индукции (основная ошибка). Ученик не выполняет этот шаг. Вместо того чтобы доказать, что из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$, он делает безосновательный вывод: «Поскольку k — любое натуральное число, то вместо k можно подставить и следующее за ним натуральное число. Следовательно, и при n = k + 1 значение этого выражения является натуральным числом». Это логическая ошибка, известная как «порочный круг» (petitio principii). Ученик не доказал переход от $k$ к $k+1$, а просто заявил, что он верен, что равносильно утверждению того, что нужно доказать.

Ответ: Основная ошибка ученика заключается в отсутствии доказательства индукционного перехода. Он не показал, почему из натуральности значения выражения для $n=k$ следует его натуральность для $n=k+1$, а лишь постулировал это.

Правильное решение задачи

Для доказательства преобразуем данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{n}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{3} = \frac{n}{6} + \frac{3n^2}{6} + \frac{2n^3}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$

Теперь разложим числитель на множители. Сначала вынесем $n$ за скобки:

$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 + 3n + 1$. Его корни можно найти по формуле для корней квадратного уравнения, они равны $n_1 = -1$ и $n_2 = -1/2$. Тогда:

$2n^2 + 3n + 1 = 2(n - (-1))(n - (-1/2)) = 2(n+1)(n+1/2) = (n+1)(2n+1)$

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Чтобы доказать, что это выражение является натуральным числом при любом натуральном $n$, нужно показать, что числитель $n(n+1)(2n+1)$ всегда делится на 6, то есть делится на 2 и на 3.

1. Делимость на 2. В произведении $n(n+1)$ один из множителей — четное число, так как $n$ и $n+1$ — два последовательных натуральных числа. Следовательно, все произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 2.

2. Делимость на 3. Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

- Если $n$ делится на 3 (то есть $n=3k$), то и все произведение делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (то есть $n = 3k+1$), то множитель $2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$, следовательно, $2n+1$ делится на 3, и все произведение делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (то есть $n = 3k+2$), то множитель $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$, следовательно, $n+1$ делится на 3, и все произведение делится на 3.

Во всех случаях числитель $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3.

Поскольку числитель делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, то он делится на их произведение, то есть на 6. Это означает, что дробь $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ всегда является целым числом. Так как $n$ — натуральное число, то результат будет натуральным.

Ответ: Выражение $\frac{n}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{3}$ приводится к виду $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Числитель этого выражения является произведением трех сомножителей, которое при любом натуральном $n$ делится на 2 и на 3, а значит, и на 6. Следовательно, значение выражения всегда является натуральным числом.