Номер 355, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 355, страница 106.

Условие.

355. Докажите, что для любых натуральных $n \geq 2$ верно неравенство $(1+a)^n > 1 + na$, где $a > -1$ и $a \neq 0$. (Неравенство швейцарского математика Я. Бернулли (1654–1705).)

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства неравенства Бернулли $(1+a)^n > 1 + na$ для всех натуральных $n \geq 2$, где $a > -1$ и $a \neq 0$, воспользуемся методом математической индукции по переменной $n$.

База индукции
Проверим справедливость неравенства для наименьшего возможного значения $n=2$.Подставим $n=2$ в исходное неравенство:
$(1+a)^2 > 1 + 2a$
Раскроем скобки в левой части:
$1 + 2a + a^2 > 1 + 2a$
Вычтем из обеих частей $1 + 2a$:
$a^2 > 0$
По условию задачи $a \neq 0$. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго больше нуля. Следовательно, неравенство $a^2 > 0$ верно.Таким образом, база индукции верна.

Шаг индукции
Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k \ge 2$. Это наше индукционное предположение:
$(1+a)^k > 1 + ka$
Теперь докажем, что неравенство верно и для следующего натурального числа $n=k+1$, то есть докажем, что:
$(1+a)^{k+1} > 1 + (k+1)a$
Рассмотрим левую часть этого неравенства:
$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k \cdot (1+a)$
По условию $a > -1$, следовательно, $1+a > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства из индукционного предположения на положительное число $(1+a)$, при этом знак неравенства сохранится:
$(1+a)^k \cdot (1+a) > (1 + ka) \cdot (1+a)$
Раскроем скобки в правой части полученного неравенства:
$(1 + ka)(1+a) = 1 + a + ka + ka^2 = 1 + (k+1)a + ka^2$
Таким образом, мы получили:
$(1+a)^{k+1} > 1 + (k+1)a + ka^2$
Теперь рассмотрим слагаемое $ka^2$. Так как $k \ge 2$ (то есть $k$ — положительное число) и $a \neq 0$ (то есть $a^2$ — строго положительное число), их произведение также строго положительно:
$ka^2 > 0$
Следовательно, $1 + (k+1)a + ka^2 > 1 + (k+1)a$.
Объединяя полученные результаты, имеем:
$(1+a)^{k+1} > 1 + (k+1)a + ka^2 > 1 + (k+1)a$
Отсюда следует, что $(1+a)^{k+1} > 1 + (k+1)a$.
Шаг индукции доказан.

Поскольку база индукции и шаг индукции верны, по принципу математической индукции исходное неравенство справедливо для любого натурального числа $n \ge 2$.
Ответ: Неравенство $(1+a)^n > 1 + na$ доказано методом математической индукции для всех натуральных $n \ge 2$ при $a > -1$ и $a \neq 0$.