Занимательные задачи 1, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - страница 107.

Условие.

Макар решил обобщить неравенство Бернулли (смотрите № 355) и доказать методом математической индукции, что $(1 + a)^n \ge 1 + na$, где $a \in R$, $n \in N$. Вот его рассуждения.

1. При $n = 1$ неравенство верно.

2. Допустим, что при $n = k$, где $k > 1$, верно неравенство $(1 + a)^k \ge 1 + ka$.

3. Докажем, что при $n = k + 1$ верно неравенство $(1 + a)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)a$. Имеем $(1 + a)^{k+1} = (1 + a)^k \cdot (1 + a)$. Учитывая допущение, получим $(1 + a)^k \cdot (1 + a) \ge (1 + ka)(1 + a)$. Так как $(1 + ka)(1 + a) = 1 + ka + a + ka^2 \ge 1 + (k + 1)a$, то $(1 + a)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)a$. Следовательно, неравенство $(1 + a)^n \ge 1 + na$ верно при $a \in R, n \in N$.

Верно ли неравенство $(1 + a)^n \ge 1 + na$, где $a \in R, n \in N$?

Если неверно, то в чем ошибся Макар?

Решение.

Решение 2 (rus).

Эту задачу удобнее всего решать с конца, так как нам известно, что в итоге яблок не осталось.

1. Расчет количества яблок перед тем, как их получил сын

Пусть $x$ — это количество яблок, которое было перед тем, как сын взял свою долю. По условию, он взял половину этих яблок и еще половину яблока. После этого яблок не осталось (осталось 0). Составим уравнение:

$x - (\frac{x}{2} + 0.5) = 0$

Решим это уравнение:

$x - \frac{x}{2} - 0.5 = 0$

$\frac{x}{2} = 0.5$

$x = 1$

Таким образом, перед тем как сын взял яблоки, было 1 яблоко. Сын взял $\frac{1}{2} + 0.5 = 1$ яблоко.

2. Расчет количества яблок перед тем, как их получила старшая дочь

Пусть $y$ — это количество яблок, которое было перед тем, как старшая дочь взяла свою долю. Она взяла половину этих яблок и еще половину яблока. После нее осталось 1 яблоко для сына. Составим уравнение:

$y - (\frac{y}{2} + 0.5) = 1$

Решим его:

$y - \frac{y}{2} - 0.5 = 1$

$\frac{y}{2} = 1 + 0.5$

$\frac{y}{2} = 1.5$

$y = 3$

Следовательно, перед тем как старшая дочь взяла яблоки, их было 3. Она взяла $\frac{3}{2} + 0.5 = 1.5 + 0.5 = 2$ яблока. Осталось $3 - 2 = 1$ яблоко.

3. Расчет общего количества яблок

Пусть $Z$ — это общее количество яблок, которое отец разделил. Младшей дочери он дал половину всех яблок и еще половину яблока. После нее осталось 3 яблока для старшей дочери и сына. Составим уравнение:

$Z - (\frac{Z}{2} + 0.5) = 3$

Решим его:

$Z - \frac{Z}{2} - 0.5 = 3$

$\frac{Z}{2} = 3 + 0.5$

$\frac{Z}{2} = 3.5$

$Z = 7$

Значит, изначально у отца было 7 яблок.

Проверка решения:

Проверим полученный результат, двигаясь от начала к концу.

Изначально у отца было 7 яблок.

1. Младшая дочь получает $\frac{7}{2} + 0.5 = 3.5 + 0.5 = 4$ яблока. Остается $7-4=3$ яблока.

2. Старшая дочь получает $\frac{3}{2} + 0.5 = 1.5 + 0.5 = 2$ яблока. Остается $3-2=1$ яблоко.

3. Сын получает $\frac{1}{2} + 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1$ яблоко. Остается $1-1=0$ яблок.

Все условия задачи выполнены, яблоки разделены полностью.

Ответ: 7 яблок.