Вопросы, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - страница 112.

Условие.

1. Дайте определение арифметической прогрессии.

2. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

3. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение арифметической прогрессии.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена прибавлением к нему одного и того же числа. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.
Таким образом, для любого натурального числа $n$ выполняется равенство:
$a_{n+1} = a_n + d$
Разность прогрессии можно найти как разность между любым членом прогрессии (начиная со второго) и предыдущим ему членом:
$d = a_{n+1} - a_n$
Если разность $d > 0$, то прогрессия является возрастающей. Если $d < 0$ — убывающей. Если $d = 0$, все члены прогрессии равны между собой, и прогрессия является постоянной (стационарной).
Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом $d$ (разностью прогрессии).

2. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Пусть задан первый член арифметической прогрессии $a_1$ и её разность $d$. Используя определение арифметической прогрессии, выразим последовательно несколько её первых членов через $a_1$ и $d$:
Для $n=2$: $a_2 = a_1 + d = a_1 + (2-1)d$
Для $n=3$: $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d = a_1 + (3-1)d$
Для $n=4$: $a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d = a_1 + (4-1)d$
...
Анализируя полученные выражения, можно заметить закономерность: чтобы найти $n$-й член прогрессии $a_n$, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$, умноженную на количество "шагов" от первого члена до $n$-го, то есть на $(n-1)$. Таким образом, формула для любого члена прогрессии с номером $n$ имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии, зная её первый член и разность.
Ответ: Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

3. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что любой член последовательности (кроме первого и, если она конечна, последнего) является средним арифметическим своих соседних членов.
Иными словами, числовая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого $n \ge 2$ выполняется условие:
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Доказательство:
Если последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d$, то по определению:
$a_n = a_{n-1} + d$
$a_{n+1} = a_n + d \implies a_n = a_{n+1} - d$
Сложим два полученных равенства для $a_n$:
$a_n + a_n = (a_{n-1} + d) + (a_{n+1} - d)$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Это свойство и дало название "арифметическая" прогрессия.
Ответ: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ (для $n \ge 2$).