Номер 360, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 360, страница 106.

Условие.

360. Ученик получил задание: «Доказать, что значение выражения $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121 ни при каком значении $n\in N$». Доказательство ученика было таким: «При $n = 1$ утверждение верно, так как 9 не делится на 121. Предположим, что при $n = k$ значение выражения $k^2 + 3k + 5$ не делится на 121. Тогда при $n = k + 1$ имеем: $(k + 1)^2 + 3(k + 1) + 5 = (k^2 + 3k + 5) + 2(k + 2)$. Последнее выражение не делится на 121, так как первое слагаемое не делится на 121 по предположению, а второе не делится на 121, так как оно четное». Найдите ошибку в рассуждениях ученика и решите задачу правильно.

Решение.

Решение 2 (rus).

Ошибка в рассуждениях ученика

Основная ошибка ученика заключается в неверном логическом переходе в шаге индукции. Ученик утверждает, что выражение $(k+1)^2+3(k+1)+5 = (k^2+3k+5) + 2(k+2)$ не делится на 121, так как первое слагаемое $(k^2+3k+5)$ не делится на 121 по предположению, а второе слагаемое $2(k+2)$ также не делится на 121.
Этот вывод является логической ошибкой. Тот факт, что два числа по отдельности не делятся на 121, не гарантирует, что их сумма не будет делиться на 121. Например, $10$ не делится на 121, и $111$ не делится на 121, однако их сумма $10 + 111 = 121$ делится на 121. В общем случае, из того, что $A \not\equiv 0 \pmod{m}$ и $B \not\equiv 0 \pmod{m}$, не следует, что $A+B \not\equiv 0 \pmod{m}$. Их остатки от деления на $m$ могут в сумме давать число, кратное $m$. Таким образом, использованный учеником метод математической индукции не доказывает утверждение.

Ответ: Ошибка ученика состоит в неверном утверждении, что сумма двух чисел, не делящихся на 121, не может делиться на 121.

Правильное решение задачи

Чтобы доказать, что значение выражения $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121 ни при каком натуральном $n$, мы докажем, что сравнение $n^2 + 3n + 5 \equiv 0 \pmod{121}$ не имеет решений.
Предположим от противного, что такое натуральное $n$ существует.$n^2 + 3n + 5 \equiv 0 \pmod{121}$
Для того чтобы выделить полный квадрат, умножим обе части сравнения на 4:$4(n^2 + 3n + 5) \equiv 4 \cdot 0 \pmod{121}$$4n^2 + 12n + 20 \equiv 0 \pmod{121}$
Теперь выделим полный квадрат в левой части:$(2n)^2 + 2 \cdot (2n) \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 20 \equiv 0 \pmod{121}$$(2n + 3)^2 - 9 + 20 \equiv 0 \pmod{121}$$(2n + 3)^2 + 11 \equiv 0 \pmod{121}$
Это сравнение означает, что $(2n + 3)^2 + 11$ должно быть кратно 121. То есть, существует целое число $k$, такое что:$(2n + 3)^2 + 11 = 121k$$(2n + 3)^2 = 121k - 11$$(2n + 3)^2 = 11(11k - 1)$
Из последнего равенства следует, что $(2n + 3)^2$ делится на 11. Поскольку 11 — простое число, то если квадрат целого числа делится на 11, то и само это число должно делиться на 11.Следовательно, $2n + 3$ делится на 11. Запишем это в виде $2n + 3 = 11m$ для некоторого целого числа $m$.
Подставим это выражение обратно в равенство $(2n + 3)^2 = 11(11k - 1)$:$(11m)^2 = 11(11k - 1)$$121m^2 = 11(11k - 1)$
Разделим обе части на 11:$11m^2 = 11k - 1$
Теперь рассмотрим это равенство по модулю 11:$11m^2 \equiv 11k - 1 \pmod{11}$$0 \equiv 0 - 1 \pmod{11}$$0 \equiv -1 \pmod{11}$
Полученное утверждение $0 \equiv -1 \pmod{11}$ является ложным, что приводит к противоречию. Следовательно, наше исходное предположение о существовании такого $n$ было неверным.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121 ни при каком натуральном $n$, так как допущение обратного приводит к логическому противоречию.