Номер 356, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 356, страница 106.

Условие.

356. Исследуйте, при каких значениях $n \in N$ верно неравенство:

а) $2^{n-1} \ge n;$

б) $2^{n-1} < n!;$

в) $2^n > 4n^2 + 1.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данных неравенств при $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел) будем использовать метод математической индукции, а также проверку для малых значений $n$.

а) $2^{n-1} \ge n$

Проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел:
При $n=1$: $2^{1-1} = 2^0 = 1$. Неравенство $1 \ge 1$ верно.
При $n=2$: $2^{2-1} = 2^1 = 2$. Неравенство $2 \ge 2$ верно.
При $n=3$: $2^{3-1} = 2^2 = 4$. Неравенство $4 \ge 3$ верно.
Предположим, что неравенство верно для всех $n \in \mathbb{N}$. Докажем это методом математической индукции.
1. База индукции. При $n=1$ неравенство верно, что мы уже проверили.
2. Индукционный переход. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $2^{k-1} \ge k$. Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть $2^{(k+1)-1} \ge k+1$ или $2^k \ge k+1$.
Из индукционного предположения $2^{k-1} \ge k$ умножим обе части на 2:
$2 \cdot 2^{k-1} \ge 2 \cdot k$
$2^k \ge 2k$
Теперь нам нужно показать, что $2k \ge k+1$. Это неравенство равносильно $k \ge 1$, что является верным для любого натурального числа $k$.
Таким образом, мы имеем цепочку неравенств: $2^k \ge 2k \ge k+1$. Отсюда следует, что $2^k \ge k+1$.
Индукционный переход доказан. Следовательно, неравенство $2^{n-1} \ge n$ верно для всех натуральных значений $n$.
Ответ: $n \in \mathbb{N}$.

б) $2^{n-1} < n!$

Проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел:
При $n=1$: $2^{1-1} = 1$, $1! = 1$. Неравенство $1 < 1$ неверно.
При $n=2$: $2^{2-1} = 2$, $2! = 2$. Неравенство $2 < 2$ неверно.
При $n=3$: $2^{3-1} = 4$, $3! = 6$. Неравенство $4 < 6$ верно.
При $n=4$: $2^{4-1} = 8$, $4! = 24$. Неравенство $8 < 24$ верно.
Предположим, что неравенство верно для всех $n \ge 3$. Докажем это методом математической индукции.
1. База индукции. При $n=3$ неравенство верно, что мы уже проверили.
2. Индукционный переход. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 3$, то есть $2^{k-1} < k!$. Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть $2^k < (k+1)!$.
Из индукционного предположения $2^{k-1} < k!$ умножим обе части на 2:
$2 \cdot 2^{k-1} < 2 \cdot k!$
$2^k < 2 \cdot k!$
Теперь нам нужно показать, что $2 \cdot k! < (k+1)!$. Так как $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, неравенство принимает вид $2 \cdot k! < (k+1) \cdot k!$. Поскольку $k! > 0$, мы можем разделить обе части на $k!$, получив $2 < k+1$, что равносильно $k > 1$. Наше предположение $k \ge 3$ удовлетворяет этому условию.
Таким образом, $2^k < 2 \cdot k! < (k+1)!$. Отсюда следует, что $2^k < (k+1)!$.
Индукционный переход доказан. Следовательно, неравенство $2^{n-1} < n!$ верно для всех натуральных $n \ge 3$.
Ответ: $n \ge 3, n \in \mathbb{N}$.

в) $2^n > 4n^2 + 1$

Проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел:
При $n=1$: $2^1=2$, $4 \cdot 1^2+1=5$. $2>5$ неверно.
При $n=2$: $2^2=4$, $4 \cdot 2^2+1=17$. $4>17$ неверно.
...
При $n=8$: $2^8=256$, $4 \cdot 8^2+1=257$. $256>257$ неверно.
При $n=9$: $2^9=512$, $4 \cdot 9^2+1=4 \cdot 81+1=325$. $512>325$ верно.
При $n=10$: $2^{10}=1024$, $4 \cdot 10^2+1=401$. $1024>401$ верно.
Предположим, что неравенство верно для всех $n \ge 9$. Докажем это методом математической индукции.
1. База индукции. При $n=9$ неравенство верно.
2. Индукционный переход. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 9$, то есть $2^k > 4k^2+1$. Докажем, что оно верно и для $n=k+1$, то есть $2^{k+1} > 4(k+1)^2+1$.
Из индукционного предположения $2^k > 4k^2+1$ умножим обе части на 2:
$2 \cdot 2^k > 2(4k^2+1)$
$2^{k+1} > 8k^2+2$
Теперь докажем, что $8k^2+2 > 4(k+1)^2+1$ для $k \ge 9$.
$8k^2+2 > 4(k^2+2k+1)+1$
$8k^2+2 > 4k^2+8k+4+1$
$8k^2+2 > 4k^2+8k+5$
$4k^2-8k-3 > 0$
Найдем корни уравнения $4k^2-8k-3=0$: $k = \frac{8 \pm \sqrt{64-4 \cdot 4(-3)}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$. Приблизительные значения корней $k_1 \approx 1-1.32 = -0.32$ и $k_2 \approx 1+1.32 = 2.32$. Парабола $y=4k^2-8k-3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $4k^2-8k-3>0$ выполняется при $k < k_1$ или $k > k_2$. Так как мы рассматриваем $k \ge 9$, условие $k > 2.32$ выполняется.
Значит, $2^{k+1} > 8k^2+2 > 4(k+1)^2+1$. Отсюда следует, что $2^{k+1} > 4(k+1)^2+1$.
Индукционный переход доказан. Следовательно, неравенство $2^n > 4n^2+1$ верно для всех натуральных $n \ge 9$.
Ответ: $n \ge 9, n \in \mathbb{N}$.