Номер 358, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 358, страница 106.

Условие.

358. Докажите, что для любых натуральных $n$ выражение $n^7 - n$ делится на 7.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы доказать, что выражение $n^7 - n$ делится на 7 для любого натурального $n$, можно использовать несколько подходов. Наиболее наглядным является метод разложения на множители с последующей проверкой по модулю.

Шаг 1: Разложение выражения на множители

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:$n^7 - n = n(n^6 - 1)$

Выражение в скобках является разностью квадратов, $n^6 - 1 = (n^3)^2 - 1^2$. Применим формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:$n(n^3 - 1)(n^3 + 1)$

Теперь к каждому из множителей в скобках применим формулы разности и суммы кубов $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$:$n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)$

Перегруппируем множители для удобства анализа:$n^7 - n = (n-1)n(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)$

Шаг 2: Анализ делимости произведения на 7

Теперь нам нужно доказать, что полученное произведение делится на 7 при любом натуральном $n$. Для этого достаточно показать, что один из множителей всегда будет делиться на 7. Рассмотрим все возможные остатки от деления $n$ на 7.

Любое натуральное число $n$ при делении на 7 может давать один из семи остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Проверим каждый случай, используя сравнения по модулю 7.

Случай 1: $n \equiv 0 \pmod{7}$ (n делится на 7).
В этом случае множитель $n$ делится на 7, а значит, и всё произведение делится на 7.

Случай 2: $n \equiv 1 \pmod{7}$.
В этом случае множитель $(n-1)$ будет сравним с $1-1=0$ по модулю 7, то есть $(n-1)$ делится на 7. Следовательно, всё произведение делится на 7.

Случай 3: $n \equiv 6 \pmod{7}$.
Этот случай эквивалентен $n \equiv -1 \pmod{7}$. Тогда множитель $(n+1)$ будет сравним с $-1+1=0$ по модулю 7. Значит, $(n+1)$ делится на 7, и всё произведение делится на 7.

Случай 4: $n \equiv 2 \pmod{7}$.
Здесь множители $(n-1), n, (n+1)$ не делятся на 7. Проверим множитель $(n^2+n+1)$: $n^2+n+1 \equiv 2^2+2+1 = 4+2+1 = 7 \equiv 0 \pmod{7}$. Этот множитель делится на 7, а значит, и всё произведение.

Случай 5: $n \equiv 3 \pmod{7}$.
Проверим множитель $(n^2-n+1)$: $n^2-n+1 \equiv 3^2-3+1 = 9-3+1 = 7 \equiv 0 \pmod{7}$. Этот множитель делится на 7, а значит, и всё произведение.

Случай 6: $n \equiv 4 \pmod{7}$.
Проверим множитель $(n^2+n+1)$. Заметим, что $4 \equiv -3 \pmod{7}$: $n^2+n+1 \equiv 4^2+4+1 = 16+4+1 = 21 \equiv 0 \pmod{7}$. Этот множитель делится на 7, а значит, и всё произведение.

Случай 7: $n \equiv 5 \pmod{7}$.
Проверим множитель $(n^2-n+1)$. Заметим, что $5 \equiv -2 \pmod{7}$: $n^2-n+1 \equiv 5^2-5+1 = 25-5+1 = 21 \equiv 0 \pmod{7}$. Этот множитель делится на 7, а значит, и всё произведение.

Мы рассмотрели все семь возможных случаев для $n$ и в каждом из них обнаружили, что один из множителей выражения $(n-1)n(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)$ делится на 7. Следовательно, и само выражение $n^7 - n$ всегда делится на 7.

Стоит отметить, что существует и более короткий способ доказательства, основанный на Малой теореме Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ выражение $a^p - a$ делится на $p$. Поскольку 7 — простое число, то по этой теореме для любого натурального $n$ выражение $n^7 - n$ будет делиться на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено. Выражение $n^7 - n$ делится на 7 для любых натуральных $n$.