Номер 357, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 357, страница 106.
№357 (с. 106)
Условие. №357 (с. 106)
скриншот условия

357. Докажите, что для всех $n \in N$ верно равенство $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \dots + \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}$.
Решение. №357 (с. 106)


Решение 2 (rus). №357 (с. 106)
Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.
Обозначим доказываемое утверждение как $P(n)$: $S_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + ... + \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{n}{2n+1}$.
Шаг 1: База индукции
Проверим справедливость утверждения $P(n)$ для наименьшего натурального числа $n=1$.
Левая часть равенства (LHS) при $n=1$ состоит из одного слагаемого: $S_1 = \frac{1}{4(1)^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$.
Правая часть равенства (RHS) при $n=1$ равна: $\frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$.
Поскольку левая и правая части равны ($ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $), утверждение $P(1)$ является верным.
Шаг 2: Индукционный переход
Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого произвольного натурального числа $k$. Это наше индукционное предположение:
$S_k = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + ... + \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{k}{2k+1}$.
Теперь необходимо доказать, что из этого предположения следует верность утверждения для $n=k+1$, то есть $P(k+1)$:
$S_{k+1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + ... + \frac{1}{4k^2 - 1} + \frac{1}{4(k+1)^2 - 1} = \frac{k+1}{2(k+1)+1}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $P(k+1)$. Она представляет собой сумму $S_k$ и следующего члена последовательности:
$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{4(k+1)^2 - 1}$.
Используя индукционное предположение, что $S_k = \frac{k}{2k+1}$, мы можем переписать выражение:
$S_{k+1} = \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{4(k+1)^2 - 1}$.
Преобразуем знаменатель второго слагаемого, применив формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$4(k+1)^2 - 1 = (2(k+1))^2 - 1^2 = (2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (2k+2-1)(2k+2+1) = (2k+1)(2k+3)$.
Подставим преобразованный знаменатель обратно в выражение для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $(2k+1)(2k+3)$:
$S_{k+1} = \frac{k(2k+3)}{(2k+1)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$S_{k+1} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}$.
Теперь разложим на множители числитель $2k^2 + 3k + 1$. Можно найти корни соответствующего квадратного уравнения или сгруппировать слагаемые:
$2k^2 + 3k + 1 = 2k^2 + 2k + k + 1 = 2k(k+1) + 1(k+1) = (2k+1)(k+1)$.
Подставим разложенный числитель в выражение для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2k+1)$, который не равен нулю, так как $k$ — натуральное число:
$S_{k+1} = \frac{k+1}{2k+3}$.
Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства $P(k+1)$:
$\frac{k+1}{2(k+1)+1} = \frac{k+1}{2k+2+1} = \frac{k+1}{2k+3}$.
Мы получили, что преобразованная левая часть совпала с правой частью. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, оно верно и для $n=k+1$.
Заключение
Поскольку база индукции ($n=1$) верна и индукционный переход доказан, то по принципу математической индукции исходное равенство справедливо для всех натуральных чисел $n \in N$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + ... + \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{n}{2n+1}$ доказано для всех натуральных $n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 357 расположенного на странице 106 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №357 (с. 106), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.