Номер 353, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 353, страница 106.

Условие.

353. Докажите, что для любых натуральных $n$ выражение $n^5 - n$ делится на 5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства того, что выражение $n^5 - n$ делится на 5 для любого натурального $n$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Разложение на множители и анализ остатков

Сначала разложим данное выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$

Теперь докажем, что полученное произведение всегда делится на 5. Любое натуральное число $n$ при делении на 5 может давать один из пяти возможных остатков: 0, 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим каждый случай:

• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 0, то $n$ делится на 5. Тогда и все произведение $n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$ делится на 5.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 1, то $(n-1)$ будет делиться на 5. Следовательно, все произведение делится на 5.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 4 (или -1), то $(n+1)$ будет делиться на 5. Следовательно, все произведение делится на 5.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 2, то ни один из множителей $n$, $n-1$, $n+1$ не делится на 5. Проверим множитель $(n^2+1)$. Квадрат числа с остатком 2 при делении на 5 дает остаток 4 ($2^2=4$). Тогда $(n^2+1)$ при делении на 5 будет давать остаток $4+1=5$, то есть 0. Значит, $(n^2+1)$ делится на 5, а с ним и все произведение.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 3, то снова ни один из множителей $n$, $n-1$, $n+1$ не делится на 5. Проверим множитель $(n^2+1)$. Квадрат числа с остатком 3 при делении на 5 дает остаток 4 ($3^2=9$, $9=5+4$). Тогда $(n^2+1)$ при делении на 5 будет давать остаток $4+1=5$, то есть 0. Значит, $(n^2+1)$ делится на 5, и все произведение делится на 5.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них один из множителей выражения $n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$ делится на 5. Таким образом, все выражение делится на 5 для любого натурального $n$.

Способ 2: Метод математической индукции

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$1^5 - 1 = 1 - 1 = 0$. Число 0 делится на 5, так как $0 = 5 \cdot 0$. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $k^5 - k$ делится на 5. Это означает, что $k^5 - k = 5m$ для некоторого целого числа $m$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что выражение $(k+1)^5 - (k+1)$ делится на 5.

Раскроем скобки, используя бином Ньютона:

$(k+1)^5 - (k+1) = (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) - (k+1)$

$= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k - k$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение из нашего предположения:

$= (k^5 - k) + (5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k)$

$= (k^5 - k) + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$

Первое слагаемое, $(k^5 - k)$, делится на 5 по индукционному предположению. Второе слагаемое, $5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$, содержит множитель 5, следовательно, оно также делится на 5.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 5, также делится на 5. Значит, $(k+1)^5 - (k+1)$ делится на 5.

По принципу математической индукции, мы заключаем, что выражение $n^5 - n$ делится на 5 для всех натуральных чисел $n$.

Примечание: Это утверждение также является прямым следствием Малой теоремы Ферма, которая гласит, что для любого простого числа $p$ и любого целого числа $a$ выполняется сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$. В нашем случае $p=5$ (простое число), поэтому для любого натурального $n$ имеем $n^5 \equiv n \pmod{5}$, что равносильно утверждению, что $n^5 - n$ делится на 5.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $n^5 - n$ делится на 5 при любом натуральном $n$.