Номер 354, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 354, страница 106.

Условие.

354. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть три последовательных натуральных числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$ (чтобы все числа были натуральными, наименьшая тройка: 1, 2, 3).

Запишем сумму их кубов $S$ и упростим ее.$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Используя формулы сокращенного умножения для куба разности и куба суммы, $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$, раскроем скобки:$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Приведя подобные слагаемые, получим:$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1) = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки:$S = 3n(n^2 + 2)$

Чтобы доказать, что $S$ делится на 9, необходимо показать, что выражение $n(n^2 + 2)$ делится на 3.Преобразуем выражение $n(n^2 + 2)$:$n(n^2 + 2) = n(n^2 - 1 + 3) = n((n-1)(n+1) + 3) = (n-1)n(n+1) + 3n$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $3n$.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, — это произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3, поэтому их произведение также делится на 3.

Второе слагаемое, $3n$, очевидно делится на 3.

Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма $(n-1)n(n+1) + 3n$ также делится на 3. Следовательно, выражение $n(n^2 + 2)$ делится на 3.

Итак, мы доказали, что $n(n^2 + 2)$ делится на 3. Это означает, что $n(n^2 + 2) = 3k$ для некоторого целого числа $k$.Тогда исходная сумма $S$ может быть записана как:$S = 3 \cdot (n(n^2+2)) = 3 \cdot (3k) = 9k$

Это выражение делится на 9 для любого целого $k$. Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.