Номер 354, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-424-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 9 классе

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 354, страница 106.

№354 (с. 106)
Условие. №354 (с. 106)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 106, номер 354, Условие

354. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение. №354 (с. 106)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 106, номер 354, Решение
Решение 2 (rus). №354 (с. 106)

Пусть три последовательных натуральных числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$ (чтобы все числа были натуральными, наименьшая тройка: 1, 2, 3).

Запишем сумму их кубов $S$ и упростим ее.$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Используя формулы сокращенного умножения для куба разности и куба суммы, $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$, раскроем скобки:$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Приведя подобные слагаемые, получим:$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1) = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки:$S = 3n(n^2 + 2)$

Чтобы доказать, что $S$ делится на 9, необходимо показать, что выражение $n(n^2 + 2)$ делится на 3.Преобразуем выражение $n(n^2 + 2)$:$n(n^2 + 2) = n(n^2 - 1 + 3) = n((n-1)(n+1) + 3) = (n-1)n(n+1) + 3n$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $3n$.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, — это произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3, поэтому их произведение также делится на 3.

Второе слагаемое, $3n$, очевидно делится на 3.

Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма $(n-1)n(n+1) + 3n$ также делится на 3. Следовательно, выражение $n(n^2 + 2)$ делится на 3.

Итак, мы доказали, что $n(n^2 + 2)$ делится на 3. Это означает, что $n(n^2 + 2) = 3k$ для некоторого целого числа $k$.Тогда исходная сумма $S$ может быть записана как:$S = 3 \cdot (n(n^2+2)) = 3 \cdot (3k) = 9k$

Это выражение делится на 9 для любого целого $k$. Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 354 расположенного на странице 106 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №354 (с. 106), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.