Номер 361, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 361, страница 107.

Условие.

361. Исследуйте, при каких значениях $n \in \mathbb{N}$ верно неравенство:

a) $2^n > n^2 + 4n + 5$;

б) $3^n > 2^n + 7n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Исследуем, при каких натуральных значениях $n$ верно неравенство $2^n > n^2 + 4n + 5$.

Для решения задачи применим метод перебора для малых значений $n$, а затем докажем общую закономерность с помощью математической индукции.

Проверим неравенство для нескольких первых натуральных значений $n$:

При $n=1$: $2^1 = 2$; $1^2 + 4(1) + 5 = 10$. Неравенство $2 > 10$ неверно.

При $n=2$: $2^2 = 4$; $2^2 + 4(2) + 5 = 17$. Неравенство $4 > 17$ неверно.

При $n=3$: $2^3 = 8$; $3^2 + 4(3) + 5 = 26$. Неравенство $8 > 26$ неверно.

При $n=4$: $2^4 = 16$; $4^2 + 4(4) + 5 = 37$. Неравенство $16 > 37$ неверно.

При $n=5$: $2^5 = 32$; $5^2 + 4(5) + 5 = 50$. Неравенство $32 > 50$ неверно.

При $n=6$: $2^6 = 64$; $6^2 + 4(6) + 5 = 65$. Неравенство $64 > 65$ неверно.

При $n=7$: $2^7 = 128$; $7^2 + 4(7) + 5 = 49 + 28 + 5 = 82$. Неравенство $128 > 82$ верно.

При $n=8$: $2^8 = 256$; $8^2 + 4(8) + 5 = 64 + 32 + 5 = 101$. Неравенство $256 > 101$ верно.

Мы видим, что, начиная с $n=7$, левая часть неравенства (экспоненциальная функция) растет значительно быстрее правой (квадратичная функция). Предположим, что неравенство верно для всех натуральных $n \ge 7$, и докажем это методом математической индукции.

База индукции: Для $n=7$ неравенство $128 > 82$ верно, что мы уже установили.

Шаг индукции: Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 7$, то есть выполнено $2^k > k^2 + 4k + 5$. Это наше предположение индукции.

Докажем, что из этого следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $2^{k+1} > (k+1)^2 + 4(k+1) + 5$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $k+1$ и используем предположение индукции:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(k^2 + 4k + 5) = 2k^2 + 8k + 10$.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства для $k+1$:

$(k+1)^2 + 4(k+1) + 5 = (k^2 + 2k + 1) + (4k + 4) + 5 = k^2 + 6k + 10$.

Нам нужно доказать, что $2^{k+1}$ больше, чем $k^2 + 6k + 10$. Мы уже показали, что $2^{k+1} > 2k^2 + 8k + 10$. Если мы докажем, что $2k^2 + 8k + 10 > k^2 + 6k + 10$, то шаг индукции будет доказан.

Сравним $2k^2 + 8k + 10$ и $k^2 + 6k + 10$:

$2k^2 + 8k + 10 - (k^2 + 6k + 10) = k^2 + 2k$.

Так как мы рассматриваем $k \ge 7$, то $k$ является положительным числом, и, следовательно, $k^2 + 2k > 0$.

Это означает, что $2k^2 + 8k + 10 > k^2 + 6k + 10$.

Таким образом, мы построили следующую цепочку неравенств: $2^{k+1} > 2k^2 + 8k + 10 > k^2 + 6k + 10 = (k+1)^2 + 4(k+1) + 5$.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^2 + 4n + 5$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 7$.

Ответ: для всех натуральных $n \ge 7$.

б)

Исследуем, при каких натуральных значениях $n$ верно неравенство $3^n > 2^n + 7n$.

Как и в предыдущем пункте, проверим неравенство для малых значений $n$ и затем воспользуемся методом математической индукции.

Проверка для первых нескольких натуральных значений $n$:

При $n=1$: $3^1 = 3$; $2^1 + 7(1) = 9$. Неравенство $3 > 9$ неверно.

При $n=2$: $3^2 = 9$; $2^2 + 7(2) = 18$. Неравенство $9 > 18$ неверно.

При $n=3$: $3^3 = 27$; $2^3 + 7(3) = 29$. Неравенство $27 > 29$ неверно.

При $n=4$: $3^4 = 81$; $2^4 + 7(4) = 16 + 28 = 44$. Неравенство $81 > 44$ верно.

При $n=5$: $3^5 = 243$; $2^5 + 7(5) = 32 + 35 = 67$. Неравенство $243 > 67$ верно.

Можно предположить, что неравенство верно для всех натуральных $n \ge 4$. Докажем это утверждение.

База индукции: Для $n=4$ неравенство $81 > 44$ верно.

Шаг индукции: Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 4$, то есть $3^k > 2^k + 7k$.

Докажем, что неравенство верно и для $n = k+1$: $3^{k+1} > 2^{k+1} + 7(k+1)$.

Используя предположение индукции, преобразуем левую часть:

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3(2^k + 7k) = 3 \cdot 2^k + 21k$.

Правая часть неравенства для $k+1$ равна:

$2^{k+1} + 7(k+1) = 2 \cdot 2^k + 7k + 7$.

Теперь докажем, что $3 \cdot 2^k + 21k > 2 \cdot 2^k + 7k + 7$.

Для этого рассмотрим их разность:

$(3 \cdot 2^k + 21k) - (2 \cdot 2^k + 7k + 7) = (3 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k) + (21k - 7k) - 7 = 2^k + 14k - 7$.

Нам нужно показать, что $2^k + 14k - 7 > 0$ для всех $k \ge 4$.

При $k=4$: $2^4 + 14(4) - 7 = 16 + 56 - 7 = 65 > 0$.

Функция $f(k) = 2^k + 14k - 7$ является возрастающей для $k \ge 1$, так как оба слагаемых $2^k$ и $14k$ являются возрастающими функциями. Следовательно, если неравенство верно для $k=4$, оно будет верно и для всех $k > 4$.

Таким образом, мы доказали, что $3 \cdot 2^k + 21k > 2 \cdot 2^k + 7k + 7$.

Получаем цепочку неравенств: $3^{k+1} > 3 \cdot 2^k + 21k > 2 \cdot 2^k + 7k + 7 = 2^{k+1} + 7(k+1)$.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, неравенство $3^n > 2^n + 7n$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 4$.

Ответ: для всех натуральных $n \ge 4$.