Номер 359, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 359, страница 106.

Условие.

359. Верно ли, что при любом $n \in N$ значение выражения $n^9 - n$ делится на 9?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо проверить, является ли утверждение "значение выражения $n^9 - n$ делится на 9 при любом натуральном $n$" истинным или ложным. Чтобы доказать, что утверждение ложно, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение выражения $n^9 - n$ не будет делиться на 9.

Проверим утверждение для нескольких первых натуральных чисел.

1. Пусть $n=1$.

Тогда $n^9 - n = 1^9 - 1 = 1 - 1 = 0$. Число 0 делится на 9 ($0 : 9 = 0$). Утверждение верно.

2. Пусть $n=2$.

Тогда $n^9 - n = 2^9 - 2$. Вычислим значение выражения:

$2^9 = 512$.

$512 - 2 = 510$.

Теперь проверим, делится ли число 510 на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа 510 равна $5 + 1 + 0 = 6$.

Так как 6 не делится на 9 нацело, то и число 510 не делится на 9.

Мы нашли контрпример ($n=2$), при котором значение выражения $n^9 - n$ не делится на 9. Следовательно, исходное утверждение не является верным для любого натурального числа $n$.

Ответ: нет, неверно. Например, при $n=2$ значение выражения $2^9 - 2 = 510$, а 510 не делится на 9.