Номер 350, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 350, страница 105.

Условие.

350. Докажите, что если $a > b > 0$, то $a^n > b^n$ для всех $n \in N$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции по переменной $n \in \mathbb{N}$. Утверждение, которое мы доказываем, обозначим как $P(n): a^n > b^n$.

1. База индукции
Проверим истинность утверждения для наименьшего натурального числа, то есть для $n=1$.
$P(1): a^1 > b^1$, что равносильно $a > b$.
Согласно условию задачи, $a > b > 0$, следовательно, неравенство $a > b$ является верным. База индукции доказана.

2. Индукционное предположение
Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$.
То есть, мы предполагаем, что выполняется неравенство $a^k > b^k$.

3. Индукционный шаг
Теперь нам необходимо доказать, что утверждение истинно и для следующего натурального числа, $n=k+1$, то есть, нужно доказать истинность $P(k+1): a^{k+1} > b^{k+1}$, используя индукционное предположение.
Начнем с левой части доказываемого неравенства $a^{k+1}$:
$a^{k+1} = a^k \cdot a$
Из индукционного предположения мы знаем, что $a^k > b^k$. Так как по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части этого неравенства на $a$, не меняя его знака:
$a^k \cdot a > b^k \cdot a$
$a^{k+1} > ab^k$
Теперь воспользуемся второй частью условия, $a > b$. Так как $b > 0$, то и любая натуральная степень $b^k$ также будет положительна, то есть $b^k > 0$. Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $b^k$:
$a \cdot b^k > b \cdot b^k$
$ab^k > b^{k+1}$
Мы получили два строгих неравенства: $a^{k+1} > ab^k$ и $ab^k > b^{k+1}$.
Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем объединить их в одно:
$a^{k+1} > ab^k > b^{k+1}$
Отсюда следует, что $a^{k+1} > b^{k+1}$.
Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

Заключение
Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что утверждение $a^n > b^n$ верно для всех натуральных чисел $n$.
Ответ: Утверждение доказано.