Номер 349, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 349, страница 105.

Условие.

349. Докажите, что для любых натуральных n:

a) $13^n + 5$ делится на 3;

б) $7^n + 5$ делится на 6;

в) $n^3 + 5n$ делится на 6;

г) $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать, что выражение $13^n + 5$ делится на 3 для любого натурального $n$, воспользуемся свойствами сравнений по модулю.
Рассмотрим остаток от деления числа 13 на 3: $13 = 3 \cdot 4 + 1$. Значит, $13$ сравнимо с $1$ по модулю $3$. Это записывается как $13 \equiv 1 \pmod{3}$.
Согласно свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$. Применим это свойство:
$13^n \equiv 1^n \pmod{3}$
$13^n \equiv 1 \pmod{3}$
Теперь прибавим 5 к обеим частям сравнения:
$13^n + 5 \equiv 1 + 5 \pmod{3}$
$13^n + 5 \equiv 6 \pmod{3}$
Так как 6 делится на 3 нацело, то $6 \equiv 0 \pmod{3}$. Следовательно:
$13^n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$
Это означает, что выражение $13^n + 5$ делится на 3 без остатка при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства того, что выражение $7^n + 5$ делится на 6 для любого натурального $n$, применим аналогичный метод сравнений по модулю.
Найдем остаток от деления 7 на 6: $7 = 6 \cdot 1 + 1$. Таким образом, $7 \equiv 1 \pmod{6}$.
Возведем обе части сравнения в степень $n$:
$7^n \equiv 1^n \pmod{6}$
$7^n \equiv 1 \pmod{6}$
Прибавим 5 к обеим частям:
$7^n + 5 \equiv 1 + 5 \pmod{6}$
$7^n + 5 \equiv 6 \pmod{6}$
Поскольку 6 делится на 6, $6 \equiv 0 \pmod{6}$. В итоге получаем:
$7^n + 5 \equiv 0 \pmod{6}$
Это доказывает, что $7^n + 5$ делится на 6 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что $n^3 + 5n$ делится на 6, докажем, что это выражение делится на 2 и на 3 одновременно. Если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на их произведение, 6.
Преобразуем исходное выражение:
$n^3 + 5n = n^3 - n + 6n = n(n^2 - 1) + 6n = (n-1)n(n+1) + 6n$.
Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме.
1. Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное (делящееся на 2) и ровно одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.
2. Второе слагаемое, $6n$, содержит множитель 6, поэтому оно очевидно делится на 6 для любого натурального $n$.
Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Таким образом, мы доказали, что $n^3 + 5n$ делится на 6 для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что выражение $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6, сначала разложим его на множители.
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 - 3n + 1$. Для этого найдем его корни, решив уравнение $2n^2 - 3n + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения: $n_{1} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $n_{2} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Следовательно, $2n^2 - 3n + 1 = 2(n - \frac{1}{2})(n - 1) = (2n - 1)(n - 1)$.
Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$2n^3 - 3n^2 + n = n(n - 1)(2n - 1)$.
Теперь докажем, что это произведение делится на 2 и на 3.
1. Делимость на 2: В произведении есть множители $(n-1)$ и $n$. Это два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно является четным. Следовательно, их произведение $(n-1)n$ делится на 2, а значит, и все выражение $n(n - 1)(2n - 1)$ делится на 2.
2. Делимость на 3: Рассмотрим три возможных случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3.
- Если $n$ делится на 3, то множитель $n$ делится на 3, и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n \equiv 1 \pmod{3}$), то множитель $(n-1)$ будет делиться на 3 ($n-1 \equiv 1-1=0 \pmod{3}$), и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n \equiv 2 \pmod{3}$), то множитель $(2n-1)$ будет делиться на 3, так как $2n-1 \equiv 2 \cdot 2 - 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$. Следовательно, все произведение делится на 3.
Поскольку во всех случаях выражение делится на 3 и всегда делится на 2, оно делится и на 6.
Ответ: Доказано.