Номер 342, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

14. Метод математической индукции. III. Последовательности - номер 342, страница 104.

Условие.

342. Найдите ошибки в рассуждениях ученика: «Докажем, что при любом $n \in N$ число $2n + 2019$ – четное. Предположим, что при $n = k$ число $2k + 2019$ – четное. Тогда при $n = k + 1$ число $2(k+1)+2019=(2k+2019)+2$ – четное, как сумма двух четных чисел. Утверждение доказано».

Решение.

Решение 2 (rus).

Рассуждение ученика является попыткой применить метод математической индукции. Этот метод состоит из двух ключевых шагов: базы индукции и индукционного перехода. В представленном решении допущены фундаментальные ошибки.

1. Отсутствие проверки базы индукции

Любое доказательство по методу математической индукции должно начинаться с проверки утверждения для наименьшего натурального числа, то есть для $n=1$. Этот шаг называется базой индукции. Ученик полностью пропустил этот шаг и сразу перешел к индукционному переходу (предположению для $n=k$ и доказательству для $n=k+1$). Без доказанной базы индукции все дальнейшие рассуждения, даже если они формально верны, не имеют смысла, так как индукционной цепочке не на что опереться.

Давайте проверим базу индукции сами. Для $n=1$ имеем:

$2 \cdot 1 + 2019 = 2 + 2019 = 2021$

Число 2021 является нечетным. Следовательно, доказываемое утверждение ложно уже для первого натурального числа.

2. Ложность самого доказываемого утверждения

Утверждение «при любом $n \in N$ число $2n+2019$ — четное» является неверным по своей сути. Разберем выражение $2n + 2019$:

• Слагаемое $2n$ является произведением натурального числа $n$ на 2, поэтому оно всегда будет четным.
• Слагаемое 2019 является нечетным числом.

Сумма четного и нечетного чисел всегда дает в результате нечетное число. Таким образом, выражение $2n + 2019$ будет нечетным для любого натурального $n$, и доказать его четность невозможно.

3. Корректность, но бессмысленность индукционного перехода

Шаг индукционного перехода, который выполнил ученик, формально правильный. Он показал, что если $2k + 2019$ — четное (индукционное предположение), то и $2(k+1) + 2019 = (2k + 2019) + 2$ тоже будет четным, как сумма двух четных чисел. Логический переход $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ здесь верен.

Однако, поскольку индукционное предположение («$2k + 2019$ — четное») никогда не выполняется ни для одного натурального $k$, этот правильный логический шаг становится бессмысленным. Он доказывает, что из ложного утверждения следует ложное, что не помогает доказать исходное утверждение.

Ответ: Главная ошибка в рассуждениях — это полное отсутствие проверки базы индукции (случай $n=1$), которая является обязательной частью доказательства по методу математической индукции. Если бы ученик проверил утверждение для $n=1$, он бы обнаружил, что оно ложно ($2 \cdot 1 + 2019 = 2021$ — нечетное), и дальнейшее доказательство не имело бы смысла. Кроме того, само утверждение в корне неверно, так как сумма четного числа ($2n$) и нечетного числа (2019) всегда является нечетным числом.