Занимательные задачи 2, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - страница 100.

Условие.

2) Известно, что $a + \frac{1}{a} = 5$. Запишите последовательность чисел, являющихся значениями выражений: $a^2 + \frac{1}{a^2}$; $a^3 + \frac{1}{a^3}$; $a^4 + \frac{1}{a^4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Вычислим значение выражения по действиям. Сначала преобразуем многоэтажную дробь.

1. Начнем с самого нижнего знаменателя: $2 + \frac{1}{2}$.

$2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

2. Подставим полученное значение в следующий знаменатель: $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}$.

$2 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$

3. Теперь вычислим значение всей первой дроби:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}$

4. Теперь упростим вторую дробь $\frac{1717}{2424}$. Заметим, что числитель и знаменатель можно сократить на 101:

$\frac{1717}{2424} = \frac{17 \times 101}{24 \times 101} = \frac{17}{24}$

5. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{5}{12} - \frac{17}{24} = \frac{5 \times 2}{12 \times 2} - \frac{17}{24} = \frac{10}{24} - \frac{17}{24} = \frac{10 - 17}{24} = -\frac{7}{24}$

Ответ: $-\frac{7}{24}$

б) Для вычисления выражения $\sqrt{\sqrt{\sqrt{390625}}}$ можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование свойства корней.

Свойство вложенных корней гласит: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$. Три вложенных квадратных корня (корень 2-й степени) эквивалентны корню степени $2 \times 2 \times 2 = 8$.

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{390625}}} = \sqrt[8]{390625}$

Число 390625 оканчивается на 5, поэтому можно предположить, что это степень числа 5. Проверим:

$5^4 = 625$

$5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625$

Значит, $\sqrt[8]{390625} = \sqrt[8]{5^8} = 5$.

Способ 2: Последовательное извлечение корней.

1. Сначала извлечем корень из 390625. Так как $600^2 = 360000$ и $630^2 = 396900$, а число оканчивается на 5, искомый корень — 625. Проверка: $625 \times 625 = 390625$.

Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{\sqrt{625}}$.

2. Далее извлечем корень из 625. Это известный квадрат числа 25.

$\sqrt{625} = 25$

Остается вычислить: $\sqrt{25}$.

3. $\sqrt{25} = 5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $5$