Номер 341, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 341, страница 100.

Условие.

341. Докажите, что последовательность, $n$-й член которой равен $c_n = \frac{2^n}{n!}$, при $n \ge 2$ является убывающей.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы доказать, что последовательность $c_n = \frac{2^n}{n!}$ является убывающей при $n \ge 2$, необходимо показать, что для любого $n \ge 2$ выполняется неравенство $c_{n+1} < c_n$.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности:

$c_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$

Рассмотрим отношение последующего члена к предыдущему $\frac{c_{n+1}}{c_n}$. Если это отношение меньше 1, то последовательность убывает (так как все члены последовательности $c_n$ положительны).

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n}$

Упростим это выражение, используя свойства степеней $ \frac{a^{m}}{a^{k}} = a^{m-k} $ и определение факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:

$\frac{2^{n+1} \cdot n!}{2^n \cdot (n+1)!} = \frac{2^{n+1-n} \cdot n!}{ (n+1) \cdot n!} = \frac{2}{n+1}$

Теперь нам нужно доказать, что $\frac{c_{n+1}}{c_n} < 1$ для всех $n \ge 2$.

Подставим полученное выражение:

$\frac{2}{n+1} < 1$

Поскольку по условию $n \ge 2$, то знаменатель $n+1$ всегда положителен. Мы можем умножить обе части неравенства на $n+1$, не меняя знака неравенства:

$2 < n+1$

$1 < n$

Это неравенство верно для всех $n$, удовлетворяющих условию $n \ge 2$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{c_{n+1}}{c_n} < 1$ для всех $n \ge 2$, что означает $c_{n+1} < c_n$ для всех $n \ge 2$. Следовательно, данная последовательность является убывающей.

Ответ: Поскольку для всех $n \ge 2$ выполняется неравенство $c_{n+1} < c_n$, последовательность является убывающей, что и требовалось доказать.