Номер 332, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 332, страница 99.

Условие.

332. Выпишите шесть первых членов последовательности ($c_n$) и задайте ее формулой $n$-го члена, если:

а) $c_1 = 15, c_{n+1} = c_n + 2;$

б) $c_1 = 1, c_{n+1} = c_n \cdot 2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана последовательность, где первый член $c_1 = 15$, а каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $c_{n+1} = c_n + 2$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 15$ и разностью $d = 2$.
Выпишем первые шесть членов последовательности, последовательно находя каждый следующий член из предыдущего:
$c_1 = 15$
$c_2 = c_1 + 2 = 15 + 2 = 17$
$c_3 = c_2 + 2 = 17 + 2 = 19$
$c_4 = c_3 + 2 = 19 + 2 = 21$
$c_5 = c_4 + 2 = 21 + 2 = 23$
$c_6 = c_5 + 2 = 23 + 2 = 25$
Первые шесть членов: 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Теперь найдем формулу n-го члена. Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$ и подставляя известные значения $c_1 = 15$ и $d = 2$, получаем:
$c_n = 15 + (n-1) \cdot 2 = 15 + 2n - 2 = 2n + 13$.
Ответ: первые шесть членов: 15, 17, 19, 21, 23, 25; формула n-го члена: $c_n = 2n + 13$.

б) Дана последовательность, где первый член $c_1 = 1$, а каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $c_{n+1} = c_n \cdot 2$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $c_1 = 1$ и знаменателем $q = 2$.
Выпишем первые шесть членов последовательности, последовательно находя каждый следующий член из предыдущего:
$c_1 = 1$
$c_2 = c_1 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$
$c_3 = c_2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$
$c_4 = c_3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$
$c_5 = c_4 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$
$c_6 = c_5 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$
Первые шесть членов: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Теперь найдем формулу n-го члена. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и подставляя известные значения $c_1 = 1$ и $q = 2$, получаем:
$c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$.
Ответ: первые шесть членов: 1, 2, 4, 8, 16, 32; формула n-го члена: $c_n = 2^{n-1}$.