Номер 325, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 325, страница 98.

Условие.

325. Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена $y_n = 4n - n^2$. Найдите $n$, если:

a) $y_n = -96$;

б) $y_n = 4$;

в) $y_n = 0$;

г) $y_n = 3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти $n$, приравняем формулу n-го члена последовательности $y_n = 4n - n^2$ к заданному значению $y_n = -96$:

$4n - n^2 = -96$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 4n - 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

По определению, номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то есть $n \ge 1$. Поэтому корень $n_2 = -8$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень - это $n_1 = 12$.

Ответ: $12$.

б) Приравняем формулу n-го члена к значению $y_n = 4$:

$4n - n^2 = 4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$n^2 - 4n + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(n - 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что $n - 2 = 0$, то есть $n = 2$.

Корень $n=2$ является натуральным числом, поэтому он подходит в качестве номера члена последовательности.

Ответ: $2$.

в) Приравняем формулу n-го члена к значению $y_n = 0$:

$4n - n^2 = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(4 - n) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $n$:

$n_1 = 0$ или $4 - n_2 = 0 \implies n_2 = 4$

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), значение $n_1 = 0$ не подходит. Следовательно, решением является $n_2 = 4$.

Ответ: $4$.

г) Приравняем формулу n-го члена к значению $y_n = 3$:

$4n - n^2 = 3$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$n^2 - 4n + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Методом подбора находим корни:

$n_1 = 1$ и $n_2 = 3$

Также можно решить через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Оба корня, $n = 1$ и $n = 3$, являются натуральными числами, поэтому оба являются решениями задачи.

Ответ: $1; 3$.