Номер 319, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 319, страница 97.

Условие.

319. Для последовательностей $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, указанных в задаче 318, запишите формулу $n$-го члена.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы записать формулу n-го члена для каждой последовательности, необходимо сначала определить тип последовательности (арифметическая или геометрическая прогрессия), а затем воспользоваться соответствующей формулой. Данные для последовательностей взяты из задачи 318, где они определены рекуррентно.

а) Последовательность $(a_n)$ задана рекуррентной формулой: $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = a_n + 1$.
Это арифметическая прогрессия, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (в данном случае, 1).
Первый член прогрессии $a_1 = 1$, а ее разность $d = 1$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 1 = 1 + n - 1 = n$.
Ответ: $a_n = n$.

б) Последовательность $(b_n)$ задана рекуррентной формулой: $b_1 = 100$ и $b_{n+1} = 0.1 \cdot b_n$.
Это геометрическая прогрессия, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (в данном случае, 0.1).
Первый член прогрессии $b_1 = 100$, а ее знаменатель $q = 0.1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$b_n = 100 \cdot (0.1)^{n-1}$.
Эту формулу можно также представить в виде степени числа 10: $b_n = 10^2 \cdot (10^{-1})^{n-1} = 10^2 \cdot 10^{-n+1} = 10^{3-n}$.
Ответ: $b_n = 100 \cdot (0.1)^{n-1}$.

в) Последовательность $(c_n)$ задана рекуррентной формулой: $c_1 = 5$ и $c_{n+1} = c_n + 5$.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 5$ и разностью $d = 5$.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$c_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.
Ответ: $c_n = 5n$.

г) Последовательность $(d_n)$ задана рекуррентной формулой: $d_1 = 2$ и $d_{n+1} = d_n \cdot 2$.
Это геометрическая прогрессия с первым членом $d_1 = 2$ и знаменателем $q = 2$.
Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $d_n = d_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения и упростим выражение:
$d_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^1 \cdot 2^{n-1} = 2^{1 + n - 1} = 2^n$.
Ответ: $d_n = 2^n$.