Номер 317, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 317, страница 96.

Условие.

317. Установите, на каком из рисунков 32–35 изображен график:

а) возрастающей последовательности; б) убывающей последовательности.

Рисунок 32

$a_n = \frac{n-3}{2}$

Рисунок 33

$b_n = \frac{4}{n} - 2$

Рисунок 34

$c_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{2}$

Рисунок 35

$d_n = -\frac{1}{2}(n-5)^2 + 4$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) возрастающей последовательности;
Возрастающей называется последовательность, у которой каждый последующий член больше предыдущего, то есть для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$. Для определения такой последовательности можно проанализировать разность $x_{n+1} - x_n$. Если эта разность положительна для всех $n$, последовательность возрастает.
Проверим каждую последовательность:
1. Рисунок 32: Последовательность задана формулой $a_n = \frac{n-3}{2}$. Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)-3}{2} - \frac{n-3}{2} = \frac{n-2}{2} - \frac{n-3}{2} = \frac{n-2-(n-3)}{2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2} > 0$ для любого натурального $n$, эта последовательность является возрастающей.
2. Рисунок 33: Последовательность $b_n = \frac{4}{n} - 2$. Разность $b_{n+1} - b_n = \left(\frac{4}{n+1} - 2\right) - \left(\frac{4}{n} - 2\right) = \frac{4}{n+1} - \frac{4}{n} = \frac{4n - 4(n+1)}{n(n+1)} = \frac{-4}{n(n+1)}$. Так как $n > 0$, разность всегда отрицательна, следовательно, последовательность убывает.
3. Рисунок 34: Последовательность $c_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{2}$. Ее члены: $c_1=-0.5, c_2=1, c_3=-1.5, \dots$. Так как $c_2 > c_1$, а $c_3 < c_2$, последовательность не является возрастающей.
4. Рисунок 35: Последовательность $d_n = -\frac{1}{2}(n-5)^2 + 4$. Ее члены: $d_4=3.5, d_5=4, d_6=3.5$. Так как $d_5 > d_4$, а $d_6 < d_5$, последовательность не является возрастающей на всей числовой оси.
Таким образом, график возрастающей последовательности изображен на рисунке 32.
Ответ: Рисунок 32.

б) убывающей последовательности.
Убывающей называется последовательность, у которой каждый последующий член меньше предыдущего, то есть для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} < x_n$. Для определения такой последовательности можно проанализировать разность $x_{n+1} - x_n$. Если эта разность отрицательна для всех $n$, последовательность убывает.
Используя анализ из пункта а), мы можем сделать следующие выводы:
1. Рисунок 32: Последовательность $a_n$ является возрастающей.
2. Рисунок 33: Последовательность $b_n = \frac{4}{n} - 2$. Как было показано, разность $b_{n+1} - b_n = \frac{-4}{n(n+1)}$. Для любого натурального $n$, знаменатель $n(n+1)$ положителен, значит вся дробь отрицательна. Следовательно, $b_{n+1} < b_n$ для всех $n$, и последовательность является убывающей.
3. Рисунок 34: Последовательность $c_n$ не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей).
4. Рисунок 35: Последовательность $d_n$ не является монотонной.
Таким образом, график убывающей последовательности изображен на рисунке 33.
Ответ: Рисунок 33.