Номер 312, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 312, страница 90.

Условие.

312.

1A) Имеется 7 различных тетрадей одного формата и 5 обложек к ним. Сколькими способами можно выбрать из них 1 тетрадь с обложкой?

2A) Имеется 5 голубых шаров и 4 оранжевых. Сколькими способами эти шары можно расположить в ряд так, чтобы голубые шары не лежали рядом?

3A) Сколько можно составить на 1 день расписаний по 5 различным предметам из 12 различных предметов?

4B) Решите уравнение $4C_n^4 = 15A_n^2$.

5C) Найдите значение выражения $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^6 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^6$.

Решение.

Решение 2 (rus).

1A) Для выбора одного комплекта "тетрадь с обложкой" необходимо выбрать одну тетрадь И одну обложку. Мы используем правило умножения в комбинаторике.
Количество способов выбрать 1 тетрадь из 7 различных тетрадей равно 7.
Количество способов выбрать 1 обложку из 5 различных обложек равно 5.
Общее количество способов выбрать 1 тетрадь с обложкой равно произведению числа способов выбора тетради и числа способов выбора обложки.
$N = 7 \cdot 5 = 35$.
Таким образом, существует 35 способов выбрать 1 тетрадь с обложкой.
Ответ: 35

2A) В задаче не указано, что шары одного цвета различны, в отличие от задач 1А и 3А, где используется слово "различных". Поэтому будем считать шары одного цвета тождественными.
Чтобы голубые шары не лежали рядом, мы должны расположить их так, чтобы между любыми двумя голубыми шарами был хотя бы один оранжевый. Для этого воспользуемся методом "промежутков".
Сначала расположим в ряд 4 оранжевых шара. Так как они тождественны, существует только 1 способ это сделать:
О О О О
При этом образуется 5 возможных мест (промежутков), куда можно поместить голубые шары (до первого оранжевого, между оранжевыми и после последнего):
_ О _ О _ О _ О _
У нас есть 5 голубых шаров, и чтобы они не соприкасались, каждый из них должен занять отдельный промежуток.
Поскольку у нас ровно 5 шаров и ровно 5 промежутков, мы должны поместить по одному голубому шару в каждый из этих промежутков.
Так как голубые шары также тождественны, существует только один способ разместить их по этим 5 промежуткам.
Число способов выбрать 5 мест из 5 имеющихся равно $C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = 1$.
Получается единственно возможная комбинация:
Г О Г О Г О Г О Г
Таким образом, существует только 1 способ расположить шары в соответствии с условием.
Ответ: 1

3A) Для составления расписания важен порядок предметов. Например, "Математика, Физика, ..." — это не то же самое, что "Физика, Математика, ...". Следовательно, нам нужно найти число размещений из 12 элементов по 5.
Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае $n=12$ (общее количество предметов) и $k=5$ (количество предметов в расписании на день).
Подставляем значения в формулу:
$A_{12}^5 = \frac{12!}{(12-5)!} = \frac{12!}{7!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8$
Вычисляем произведение:
$A_{12}^5 = 132 \cdot 10 \cdot 72 = 1320 \cdot 72 = 95040$.
Таким образом, можно составить 95040 различных расписаний.
Ответ: 95040

4B) Дано уравнение: $4C_n^4 = 15A_n^2$.
Область допустимых значений для $n$: $n$ - натуральное число, и $n \ge 4$.
Распишем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!}$
$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$4 \cdot \frac{n!}{4!(n-4)!} = 15 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}$
Так как $n \ge 4$, то $n! \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $n!$:
$\frac{4}{4!(n-4)!} = \frac{15}{(n-2)!}$
Знаем, что $4! = 24$. Также распишем $(n-2)!$ как $(n-2)(n-3)(n-4)!$:
$\frac{4}{24(n-4)!} = \frac{15}{(n-2)(n-3)(n-4)!}$
Сократим дробь в левой части и умножим обе части на $(n-4)! \ne 0$:
$\frac{1}{6} = \frac{15}{(n-2)(n-3)}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$(n-2)(n-3) = 15 \cdot 6$
$(n-2)(n-3) = 90$
Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:
$n^2 - 3n - 2n + 6 = 90$
$n^2 - 5n - 84 = 0$
Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $n_1 + n_2 = 5$, $n_1 \cdot n_2 = -84$. Подбором находим корни $n_1 = 12$ и $n_2 = -7$.
Проверяем корни по области допустимых значений ($n \ge 4$). Корень $n_2 = -7$ не подходит. Корень $n_1 = 12$ подходит.
Ответ: 12

5C) Для вычисления значения выражения $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^6 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^6$ воспользуемся формулой бинома Ньютона.
Пусть $a=1$ и $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Тогда выражение имеет вид $(a-b)^6 + (a+b)^6$.
Раскроем каждое слагаемое по формуле бинома Ньютона $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k$:
$(a+b)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 b + C_6^2 a^4 b^2 + C_6^3 a^3 b^3 + C_6^4 a^2 b^4 + C_6^5 a b^5 + C_6^6 b^6$
$(a-b)^6 = C_6^0 a^6 - C_6^1 a^5 b + C_6^2 a^4 b^2 - C_6^3 a^3 b^3 + C_6^4 a^2 b^4 - C_6^5 a b^5 + C_6^6 b^6$
При сложении этих двух выражений слагаемые с нечетными степенями $b$ взаимно уничтожаются:
$(a-b)^6 + (a+b)^6 = 2(C_6^0 a^6 + C_6^2 a^4 b^2 + C_6^4 a^2 b^4 + C_6^6 b^6)$
Подставим наши значения $a=1$ и $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $a=1$, все степени $a$ равны 1.
Вычислим биномиальные коэффициенты:
$C_6^0 = 1$
$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$
$C_6^4 = C_6^2 = 15$
$C_6^6 = 1$
Вычислим степени $b$:
$b^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$
$b^4 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$b^6 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^6 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
Подставим все значения в упрощенную формулу:
$2(1 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{1}{2} + 15 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{8}) = 2(1 + \frac{15}{2} + \frac{15}{4} + \frac{1}{8})$
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 8:
$2(\frac{8}{8} + \frac{60}{8} + \frac{30}{8} + \frac{1}{8}) = 2(\frac{8 + 60 + 30 + 1}{8}) = 2(\frac{99}{8})$
$2 \cdot \frac{99}{8} = \frac{99}{4}$
Ответ: $\frac{99}{4}$