Номер 309, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 309, страница 89.

Условие.

309. Докажите, что если трехзначное число $\overline{abc}$ делится на 37, то и число $\overline{bca}$ делится на 37.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть трехзначное число $\overline{abc}$ делится на 37. Запишем это число в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$.

По условию, выражение $100a + 10b + c$ делится нацело на 37.

Теперь рассмотрим число $\overline{bca}$, которое образовано циклической перестановкой цифр числа $\overline{abc}$. Его можно представить в виде: $\overline{bca} = 100b + 10c + a$.

Наша задача — доказать, что $\overline{bca}$ также делится на 37. Для этого установим связь между выражениями для $\overline{abc}$ и $\overline{bca}$. Умножим исходное число $\overline{abc}$ на 10:

$10 \cdot \overline{abc} = 10 \cdot (100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c$.

Так как $\overline{abc}$ делится на 37, то и произведение $10 \cdot \overline{abc}$ делится на 37.

Преобразуем полученное выражение, выделив в нем число $\overline{bca}$:

$1000a + 100b + 10c = 999a + a + 100b + 10c = 999a + (100b + 10c + a)$.

Выражение в скобках равно числу $\overline{bca}$. Таким образом, мы получили равенство:

$10 \cdot \overline{abc} = 999a + \overline{bca}$.

Выразим из этого равенства $\overline{bca}$:

$\overline{bca} = 10 \cdot \overline{abc} - 999a$.

Теперь проанализируем правую часть этого равенства на делимость на 37. Она представляет собой разность двух выражений:

1. Уменьшаемое $10 \cdot \overline{abc}$ делится на 37, так как по условию один из его множителей, $\overline{abc}$, делится на 37.

2. Вычитаемое $999a$ также делится на 37, поскольку число $999$ делится на 37 без остатка: $999 = 27 \cdot 37$.

Так как и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 37, то и их разность, которой является число $\overline{bca}$, также делится на 37. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.