Номер 311, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 311, страница 90.

Условие.

311. a) Построены выпуклые многоугольники: четырехугольник, пятиугольник и $n$-угольник, где $n > 5$. Оказалось, что число, равное сумме диагоналей этих многоугольников, не больше 100. Какое наименьшее и наибольшее число сторон мог иметь $n$-угольник?

б) Белки собрали поровну орехов, причем известно, что количество орехов больше числа белок. При переносе их в дупло каждая белка передала каждой другой по одному ореху, которые упали. Сколько орехов собрала каждая белка, если на хранение всеми белками было перенесено 33 ореха?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Найдем общее количество диагоналей в заданных многоугольниках.
Формула для числа диагоналей $D$ в выпуклом $k$-угольнике: $D_k = \frac{k(k-3)}{2}$.
1. Для четырехугольника ($k=4$):
$D_4 = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ диагонали.
2. Для пятиугольника ($k=5$):
$D_5 = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ диагоналей.
3. Для $n$-угольника ($k=n$):
$D_n = \frac{n(n-3)}{2}$ диагоналей.
Сумма диагоналей всех трех многоугольников не больше 100. Составим неравенство:
$D_4 + D_5 + D_n \le 100$
$2 + 5 + \frac{n(n-3)}{2} \le 100$
$7 + \frac{n(n-3)}{2} \le 100$
$\frac{n(n-3)}{2} \le 93$
$n(n-3) \le 186$
$n^2 - 3n - 186 \le 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 3n - 186 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-186)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 744}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{753}}{2}$
Так как $n$ (число сторон) должно быть положительным, нас интересует только положительный корень: $n = \frac{3 + \sqrt{753}}{2}$.
Оценим значение $\sqrt{753}$. Мы знаем, что $27^2 = 729$ и $28^2 = 784$. Следовательно, $27 < \sqrt{753} < 28$.
Тогда $n_2 = \frac{3 + \sqrt{753}}{2} \approx \frac{3 + 27.4}{2} \approx 15.2$.
Неравенство $n^2 - 3n - 186 \le 0$ выполняется для $n$, находящихся между корнями. Учитывая, что $n>0$, получаем $0 < n \le \frac{3 + \sqrt{753}}{2}$.
Поскольку $n$ — это целое число, то $n \le 15$.
По условию задачи, $n > 5$.
Таким образом, мы ищем целые числа $n$, которые удовлетворяют условию $5 < n \le 15$.
Наименьшее целое число в этом диапазоне — это 6.
Наибольшее целое число в этом диапазоне — это 15.
Следовательно, наименьшее число сторон, которое мог иметь $n$-угольник, равно 6, а наибольшее — 15.

Ответ: Наименьшее число сторон — 6, наибольшее — 15.

б)

Пусть $k$ — количество белок, а $x$ — количество орехов, которое собрала каждая белка. $k$ и $x$ — натуральные числа.
Общее количество собранных орехов равно $kx$.
По условию, "количество орехов больше числа белок". Будем считать, что это относится к количеству орехов у каждой белки, то есть $x > k$.
В процессе переноса "каждая белка передала каждой другой по одному ореху, которые упали". Это означает, что каждая из $k$ белок пыталась передать по одному ореху каждой из $(k-1)$ других белок, и все эти орехи были потеряны.
Количество орехов, которые уронила каждая белка, равно $k-1$.
Общее количество упавших орехов равно $k \cdot (k-1)$.
Изначально у белок было $kx$ орехов. После того как $k(k-1)$ орехов упали, у них осталось 33 ореха.
Составим уравнение:
$kx - k(k-1) = 33$
Вынесем $k$ за скобки:
$k(x - (k-1)) = 33$
$k(x - k + 1) = 33$
Так как $k$ и $x$ — целые числа, то $k$ должен быть делителем числа 33. Делители 33: 1, 3, 11, 33.
Поскольку белки передавали орехи "каждая другой", их должно быть как минимум две, то есть $k \ge 2$.
Рассмотрим возможные значения $k$:
1. Если $k = 3$:
$3(x - 3 + 1) = 33$
$x - 2 = 11$
$x = 13$
Проверим условие $x > k$: $13 > 3$. Условие выполняется. Это возможное решение.
2. Если $k = 11$:
$11(x - 11 + 1) = 33$
$x - 10 = 3$
$x = 13$
Проверим условие $x > k$: $13 > 11$. Условие выполняется. Это также возможное решение.
3. Если $k = 33$:
$33(x - 33 + 1) = 33$
$x - 32 = 1$
$x = 33$
Проверим условие $x > k$: $33 > 33$. Условие не выполняется, так как $33$ не больше $33$. Этот случай не подходит.
Таким образом, возможны два сценария: 3 белки собрали по 13 орехов, или 11 белок собрали по 13 орехов. В обоих случаях количество орехов, собранных каждой белкой ($x$), равно 13.

Ответ: Каждая белка собрала 13 орехов.