Номер 310, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 310, страница 90.

Условие.

310. Найдите наибольшее значение n, при котором верно неравенство $A_n^3 \le 1320$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти наибольшее натуральное число n, удовлетворяющее неравенству $A_n^3 \le 1320$.

$A_n^3$ — это число размещений из n элементов по 3, которое вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Для $k=3$ формула принимает вид: $A_n^3 = \frac{n!}{(n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{(n-3)!} = n(n-1)(n-2)$.

По определению размещений, n должно быть натуральным числом и $n \ge 3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $n(n-1)(n-2) \le 1320$.

Мы ищем наибольшее натуральное число n, для которого произведение трёх последовательных чисел не превышает 1320. Для нахождения решения можно использовать метод оценки. Произведение $n(n-1)(n-2)$ приблизительно равно $(n-1)^3$.

Оценим значение $(n-1)$, найдя кубический корень из 1320. Известно, что $10^3 = 1000$ и $11^3 = 1331$. Так как $1331$ очень близко к $1320$, можно предположить, что значение $n-1$ близко к 11, то есть $n$ близко к 12.

Проверим значение $n=12$: $A_{12}^3 = 12 \cdot (12-1) \cdot (12-2) = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$. Неравенство $1320 \le 1320$ является верным.

Проверим следующее натуральное число, $n=13$: $A_{13}^3 = 13 \cdot (13-1) \cdot (13-2) = 13 \cdot 12 \cdot 11 = 1716$. Неравенство $1716 \le 1320$ является неверным.

Так как функция $f(n) = A_n^3 = n(n-1)(n-2)$ является возрастающей для $n \ge 3$, то для всех $n > 12$ значение $A_n^3$ будет больше 1320. Следовательно, наибольшее значение n, при котором неравенство верно, это 12.

Ответ: 12.