Номер 305, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 305, страница 89.

Условие.

305. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых нет ни одной из цифр:

а) 0, 2, 9;

б) 1, 2, 9?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько существует двузначных чисел, в записи которых не используются цифры 0, 2 и 9.
Всего существует 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Исключаем из этого набора цифры 0, 2 и 9. У нас остаются следующие цифры для составления чисел: {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Всего 7 цифр.
Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц.
На место первой цифры (десятки) мы можем поставить любую из оставшихся цифр. Так как 0 уже исключен, любая из 7 оставшихся цифр подходит. Итак, у нас есть 7 вариантов для первой цифры.
На место второй цифры (единицы) мы также можем поставить любую из 7 разрешенных цифр {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Итак, у нас есть 7 вариантов для второй цифры.
Чтобы найти общее количество таких чисел, мы перемножаем количество вариантов для каждой позиции (правило произведения в комбинаторике).
Количество чисел = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры) = $7 \times 7 = 49$.
Ответ: 49

б) Теперь определим, сколько существует двузначных чисел, в записи которых не используются цифры 1, 2 и 9.
Снова начнем с полного набора из 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Исключаем цифры 1, 2 и 9. У нас остаются следующие цифры: {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Всего 7 цифр.
Рассмотрим позиции в двузначном числе.
На место первой цифры (десятки) мы можем поставить любую из разрешенных цифр, кроме 0 (потому что число должно быть двузначным). Из нашего набора {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8} мы не можем использовать 0. Таким образом, у нас остаются цифры {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Это 6 вариантов для первой цифры.
На место второй цифры (единицы) мы можем поставить любую из разрешенных цифр, включая 0. Наш набор разрешенных цифр — {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Это 7 вариантов для второй цифры.
Перемножаем количество вариантов для каждой позиции:
Количество чисел = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры) = $6 \times 7 = 42$.
Ответ: 42