Номер 299, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 299, страница 88.

Условие.

299. Сколькими способами можно определить стартовый состав (5 человек) команды для игры в баскетбол из 9 человек?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 5 игроков из 9, при этом порядок выбора игроков не имеет значения. Это классическая задача комбинаторики на нахождение числа сочетаний.

Формула для расчета числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — это общее количество элементов, из которых производится выбор, а $k$ — это количество элементов, которое необходимо выбрать.

В нашем случае:
- Общее количество игроков $n = 9$.
- Количество игроков в стартовом составе $k = 5$.

Подставим данные значения в формулу для нахождения числа сочетаний:
$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}$

Теперь распишем факториалы и выполним вычисления:
$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

Сократим $5!$ в числителе и знаменателе:
$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем дальнейшие сокращения для упрощения расчета:
Знаменатель равен $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Числитель равен $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.
$C_9^5 = \frac{3024}{24} = 126$
Или можно сократить пошагово:
$C_9^5 = \frac{9 \times (2 \times 4) \times 7 \times (2 \times 3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 7 \times 2 = 126$

Таким образом, существует 126 способов определить стартовый состав из 5 человек, выбирая из 9 доступных игроков.
Ответ: 126