Номер 296, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 296, страница 88.

Условие.

296. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно соста-вить из цифр 1, 2, 3, не повторяя их в числе.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно найти все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2 и 3, при условии, что цифры в числе не повторяются. После этого необходимо вычислить сумму всех этих чисел.

Сначала определим, сколько таких чисел существует. На первую позицию (сотни) можно поставить любую из трех цифр. На вторую позицию (десятки) — любую из двух оставшихся. На третью позицию (единицы) — последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, общее количество чисел равно числу перестановок из трех элементов: $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$.

Выпишем все эти числа, сгруппировав их по первой цифре:

Числа, начинающиеся с 1: 123, 132.

Числа, начинающиеся с 2: 213, 231.

Числа, начинающиеся с 3: 312, 321.

Итак, у нас есть 6 чисел: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Теперь найдем их сумму прямым сложением:

$123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332$.

Эту же сумму можно найти и другим, более общим способом, проанализировав вклад каждой цифры в общую сумму в зависимости от ее разряда.

Сумма исходных цифр равна $1 + 2 + 3 = 6$.

В разряде единиц каждая из цифр (1, 2, 3) встречается одинаковое количество раз. Если зафиксировать одну цифру на месте единиц, то две другие можно расставить на местах сотен и десятков $2! = 2$ способами. Значит, каждая цифра встречается в разряде единиц 2 раза. Суммарный вклад разряда единиц в общую сумму: $2 \times (1 + 2 + 3) \times 1 = 2 \times 6 = 12$.

Аналогично, в разряде десятков каждая цифра встречается 2 раза. Их суммарный вклад, с учетом того, что это десятки: $2 \times (1 + 2 + 3) \times 10 = 12 \times 10 = 120$.

В разряде сотен каждая цифра также встречается 2 раза. Их суммарный вклад: $2 \times (1 + 2 + 3) \times 100 = 12 \times 100 = 1200$.

Итоговая сумма всех чисел равна сумме вкладов от каждого разряда:

Сумма = $1200 + 120 + 12 = 1332$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1332