Номер 292, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 292, страница 87.

Условие.

292. Установите, что при любом $n \in N$ верно неравенство $2^n > \frac{n^2}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства неравенства $2^n > \frac{n^2}{2}$ для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$ воспользуемся методом математической индукции.

Сначала проверим справедливость неравенства для нескольких первых натуральных чисел:

При $n=1$: $2^1 > \frac{1^2}{2} \implies 2 > 0.5$. Неравенство верно.

При $n=2$: $2^2 > \frac{2^2}{2} \implies 4 > 2$. Неравенство верно.

При $n=3$: $2^3 > \frac{3^2}{2} \implies 8 > 4.5$. Неравенство верно.

Мы видим, что для $n=1, 2, 3$ неравенство выполняется. Теперь докажем, что оно выполняется для всех $n \ge 3$ с помощью индукции.

База индукции (для $n \ge 3$)

При $n=3$ неравенство верно, как мы уже проверили: $8 > 4.5$.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$:

$2^k > \frac{k^2}{2}$

Индукционный шаг

Докажем, что из этого предположения следует истинность неравенства для $k+1$, то есть $2^{k+1} > \frac{(k+1)^2}{2}$.

Начнем с левой части: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.

Согласно индукционному предположению, $2 \cdot 2^k > 2 \cdot \frac{k^2}{2} = k^2$.

Итак, мы имеем $2^{k+1} > k^2$.

Теперь докажем, что при $k \ge 3$ выполняется вспомогательное неравенство $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$.

$2k^2 > (k+1)^2$

$2k^2 > k^2 + 2k + 1$

$k^2 - 2k - 1 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $k^2 - 2k - 1 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Парабола $y=k^2-2k-1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ справедливо при $k < 1 - \sqrt{2}$ или $k > 1+\sqrt{2}$.

Так как $1+\sqrt{2} \approx 2.414$, а мы рассматриваем натуральные числа $k \ge 3$, то для всех таких $k$ неравенство $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$ выполняется.

Таким образом, для любого $k \ge 3$ мы можем составить цепочку неравенств:

$2^{k+1} > k^2$ и $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$, следовательно, по свойству транзитивности $2^{k+1} > \frac{(k+1)^2}{2}$.

Индукционный шаг доказан для всех $k \ge 3$.

Поскольку мы напрямую проверили, что неравенство верно для $n=1$ и $n=2$, и доказали по индукции, что оно верно для всех $n \ge 3$, мы можем заключить, что неравенство $2^n > \frac{n^2}{2}$ верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.