Номер 292, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 292, страница 87.
№292 (с. 87)
Условие. №292 (с. 87)
скриншот условия

292. Установите, что при любом $n \in N$ верно неравенство $2^n > \frac{n^2}{2}$.
Решение. №292 (с. 87)

Решение 2 (rus). №292 (с. 87)
Для доказательства неравенства $2^n > \frac{n^2}{2}$ для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$ воспользуемся методом математической индукции.
Сначала проверим справедливость неравенства для нескольких первых натуральных чисел:
При $n=1$: $2^1 > \frac{1^2}{2} \implies 2 > 0.5$. Неравенство верно.
При $n=2$: $2^2 > \frac{2^2}{2} \implies 4 > 2$. Неравенство верно.
При $n=3$: $2^3 > \frac{3^2}{2} \implies 8 > 4.5$. Неравенство верно.
Мы видим, что для $n=1, 2, 3$ неравенство выполняется. Теперь докажем, что оно выполняется для всех $n \ge 3$ с помощью индукции.
База индукции (для $n \ge 3$)
При $n=3$ неравенство верно, как мы уже проверили: $8 > 4.5$.
Индукционное предположение
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$:
$2^k > \frac{k^2}{2}$
Индукционный шаг
Докажем, что из этого предположения следует истинность неравенства для $k+1$, то есть $2^{k+1} > \frac{(k+1)^2}{2}$.
Начнем с левой части: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.
Согласно индукционному предположению, $2 \cdot 2^k > 2 \cdot \frac{k^2}{2} = k^2$.
Итак, мы имеем $2^{k+1} > k^2$.
Теперь докажем, что при $k \ge 3$ выполняется вспомогательное неравенство $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$.
$2k^2 > (k+1)^2$
$2k^2 > k^2 + 2k + 1$
$k^2 - 2k - 1 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $k^2 - 2k - 1 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Парабола $y=k^2-2k-1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ справедливо при $k < 1 - \sqrt{2}$ или $k > 1+\sqrt{2}$.
Так как $1+\sqrt{2} \approx 2.414$, а мы рассматриваем натуральные числа $k \ge 3$, то для всех таких $k$ неравенство $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$ выполняется.
Таким образом, для любого $k \ge 3$ мы можем составить цепочку неравенств:
$2^{k+1} > k^2$ и $k^2 > \frac{(k+1)^2}{2}$, следовательно, по свойству транзитивности $2^{k+1} > \frac{(k+1)^2}{2}$.
Индукционный шаг доказан для всех $k \ge 3$.
Поскольку мы напрямую проверили, что неравенство верно для $n=1$ и $n=2$, и доказали по индукции, что оно верно для всех $n \ge 3$, мы можем заключить, что неравенство $2^n > \frac{n^2}{2}$ верно для всех натуральных чисел $n$.
Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 292 расположенного на странице 87 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №292 (с. 87), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.