Номер 288, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 288, страница 87.

Условие.

288. Верно ли при любом $n\in N$ неравенство $2^n > n$? Объясните ответ, используя разложение бинома $(1 + 1)^n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Да, неравенство $2^n > n$ верно при любом натуральном $n \in \mathbb{N}$. Для доказательства этого утверждения воспользуемся разложением бинома Ньютона.

Формула разложения бинома для $(a+b)^n$ выглядит следующим образом:$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}a^0 b^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Применим эту формулу к выражению $(1+1)^n$, где $a=1$ и $b=1$:$2^n = (1+1)^n = \binom{n}{0} \cdot 1^n + \binom{n}{1} \cdot 1^{n-1} \cdot 1^1 + \binom{n}{2} \cdot 1^{n-2} \cdot 1^2 + \dots + \binom{n}{n} \cdot 1^n$.

Поскольку любая степень единицы равна единице, формула упрощается до суммы биномиальных коэффициентов:$2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n}$.

Рассмотрим члены этого разложения. По определению, биномиальный коэффициент $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для любого натурального числа $n \ge 1$ второй член разложения равен:$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$.

Теперь мы можем переписать разложение для $2^n$, выделив этот член:$2^n = \binom{n}{1} + \left( \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \dots + \binom{n}{n} \right)$.Подставив значение $\binom{n}{1}=n$, получаем:$2^n = n + \left( \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \dots + \binom{n}{n} \right)$.

Для любого натурального $n$, все биномиальные коэффициенты $\binom{n}{k}$ являются неотрицательными целыми числами. Сумма в скобках содержит как минимум первый член разложения $\binom{n}{0} = 1$. Все остальные члены в скобках (если они есть, т.е. при $n \ge 2$) также неотрицательны. Следовательно, вся сумма в скобках является положительным целым числом (она не меньше 1).

Таким образом, мы показали, что $2^n$ равно $n$ плюс некоторое положительное целое число. Из этого напрямую следует, что $2^n$ строго больше, чем $n$.

Ответ: Да, неравенство $2^n > n$ верно при любом натуральном $n$.