Номер 289, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 289, страница 87.

Условие.

289. Исследуйте, может ли какой-либо биномиальный коэффициент разложения $(a + b)^n$ быть равным:
а) сумме пяти первых натуральных чисел;
б) произведению пяти первых натуральных чисел.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Вычислим сумму пяти первых натуральных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.Теперь исследуем, может ли какой-либо биномиальный коэффициент быть равным 15. Биномиальный коэффициент разложения $(a+b)^n$ имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа, причем $0 \le k \le n$.Нам необходимо найти целочисленные решения уравнения $C_n^k = 15$.Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения $k$:При $k=0$, $C_n^0 = 1 \ne 15$.При $k=1$, имеем $C_n^1 = n$. Уравнение принимает вид $n=15$. Это является решением, так как $n=15$ и $k=1$ удовлетворяют всем условиям. Следовательно, коэффициент $C_{15}^1$ в разложении $(a+b)^{15}$ равен 15.При $k=2$, имеем $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Уравнение принимает вид $\frac{n(n-1)}{2} = 15$, что эквивалентно $n(n-1) = 30$. Решением этого уравнения является $n=6$, поскольку $6 \cdot 5 = 30$. Пара $n=6, k=2$ также является решением. Следовательно, коэффициент $C_6^2$ в разложении $(a+b)^6$ равен 15.Поскольку мы нашли примеры, можно сделать вывод, что биномиальный коэффициент может быть равен 15.Ответ: Да, может. Например, $C_{15}^1 = 15$ или $C_6^2 = 15$.

б) Вычислим произведение пяти первых натуральных чисел: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 5! = 120$.Теперь исследуем, может ли биномиальный коэффициент $C_n^k$ быть равным 120.Ищем целочисленные решения уравнения $C_n^k = 120$.Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения $k$:При $k=1$, имеем $C_n^1 = n$. Уравнение принимает вид $n=120$. Это является решением ($n=120, k=1$), и коэффициент $C_{120}^1$ равен 120.При $k=2$, имеем $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Уравнение принимает вид $\frac{n(n-1)}{2} = 120$, что эквивалентно $n(n-1) = 240$. Подбором находим $n=16$, так как $16 \cdot 15 = 240$. Это также является решением ($n=16, k=2$), и коэффициент $C_{16}^2$ равен 120.При $k=3$, имеем $C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$. Уравнение принимает вид $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120$, что эквивалентно $n(n-1)(n-2) = 720$. Подбором находим $n=10$, так как $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$. Это также является решением ($n=10, k=3$), и коэффициент $C_{10}^3$ равен 120.Поскольку мы нашли примеры, можно сделать вывод, что биномиальный коэффициент может быть равен 120.Ответ: Да, может. Например, $C_{120}^1 = 120$, $C_{16}^2 = 120$ или $C_{10}^3 = 120$.